Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das Integral
\[
\int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx
\]
und als Stammfunktion (korrekt) ist angegeben:
\[
F(x)=x^4+x^2.
\]
1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]
Hier ist \(f(x)=4x^3+2x\), \(a=-2\), \(b=1\).
2) (Kurzer Check) Warum ist \(F(x)=x^4+x^2\) eine Stammfunktion?
Ableiten:
\[
F'(x) = (x^4)‘ + (x^2)‘ = 4x^3 + 2x.
\]
Das ist genau der Integrand. Passt also.
3) Werte an den Grenzen einsetzen
Wir berechnen zuerst \(F(1)\):
\[
F(1)=1^4+1^2.
\]
Dann \(F(-2)\):
\[
F(-2)=(-2)^4+(-2)^2.
\]
Tipp: Bei geraden Potenzen (\(^2\), \(^4\)) wird ein negatives Vorzeichen beim Potenzieren „weggenommen“,
denn \((-2)^2\) und \((-2)^4\) sind positiv.
4) Differenz bilden
Jetzt nach dem Hauptsatz:
\[
\int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx = F(1)-F(-2).
\]
Setze die oben berechneten Ausdrücke ein und rechne dann sorgfältig aus.
Tipps zum fehlerfreien Rechnen
- Schreibe \(F(1)\) und \(F(-2)\) erst vollständig hin, bevor du zusammenfasst.
- Achte besonders auf Klammern: \(F(-2)\) ist ein ganzer Wert, der anschließend abgezogen wird.
- Nutze die Regel: Gerade Potenzen machen negative Zahlen positiv.
Wenn du möchtest, kannst du mir deine Zwischenergebnisse für \(F(1)\) und \(F(-2)\) schicken,
dann prüfe ich, ob alles stimmt, ohne das Endergebnis vorwegzunehmen.