Thema: Bestimmtes Integral
Lösung
Aufgabe: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx\)
Gegebene Stammfunktion (Kontrolle): \(F(x)=x^3+x^2\)
1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a).
\]
Hier ist \(f(x)=3x^2+2x\), \(a=1\), \(b=2\).
2) Prüfen/Verstehen der Stammfunktion
Wir leiten \(F(x)=x^3+x^2\) ab:
\[
F'(x) = 3x^2 + 2x.
\]
Das ist genau der Integrand. Also ist \(F\) korrekt.
3) Stammfunktion an den Grenzen auswerten
Setze zuerst \(x=2\) ein:
\[
F(2)=2^3+2^2.
\]
Rechne die Potenzen einzeln aus:
\[
2^3 = 2\cdot2\cdot2,\qquad 2^2 = 2\cdot2.
\]
Setze dann \(x=1\) ein:
\[
F(1)=1^3+1^2.
\]
Auch hier:
\[
1^3=1,\qquad 1^2=1.
\]
4) Differenz bilden
Jetzt den Hauptsatz anwenden:
\[
\int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx = F(2)-F(1)
= (2^3+2^2) – (1^3+1^2).
\]
Als nächstes würdest du die Zahlen in den Klammern ausrechnen und anschließend subtrahieren.
Tipps zum schnelleren Rechnen (ohne Hilfsmittel)
- Berechne zuerst die Potenzen (\(2^3\), \(2^2\), \(1^3\), \(1^2\)) und addiere dann innerhalb der Klammern.
- Halte die Struktur oben minus unten strikt ein, damit kein Vorzeichenfehler entsteht.
- Wenn du unsicher bist: Schreibe \(F(2)\) und \(F(1)\) jeweils als eigene Zeile aus, bevor du subtrahierst.
Wenn du möchtest, kannst du mir deine letzte Rechenzeile (die ausgerechneten Klammern) schicken, dann prüfe ich sie.