Lösung
Thema: Ableitung von cos(x) (Produktregel)
Aufgabe: Gegeben ist \(f(x)=x^5\cdot \cos x\). Bestimme \(f'(x)\).
Schritt 1: Erkennen, welche Regel nötig ist
\(f(x)\) ist ein Produkt aus zwei Funktionen:
- \(u(x)=x^5\)
- \(v(x)=\cos x\)
Daher benutzt man die Produktregel:
\[
(u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘
\]
Schritt 2: Die einzelnen Ableitungen bilden
Zuerst \(u(x)=x^5\):
\[
u'(x) = (x^5)‘ = 5x^4
\]
Dann \(v(x)=\cos x\):
\[
v'(x) = (\cos x)‘ = -\sin x
\]
Schritt 3: Produktregel einsetzen
Jetzt in \((u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v’\) einsetzen:
\[
f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)
\]
\[
f'(x)= (5x^4)\cdot (\cos x) + (x^5)\cdot(-\sin x)
\]
Schritt 4: Vereinfachen (Vorzeichen beachten)
Der zweite Term hat ein Minus, weil \((\cos x)’=-\sin x\):
\[
f'(x)= 5x^4\cos x – x^5\sin x
\]
Tipps zum leichteren Lösen
- Schreibe dir bei Produkten immer zuerst \(u\) und \(v\) hin. Dann vergisst du die Produktregel nicht.
- Merksatz: \((\cos x)’=-\sin x\) (das Minus ist hier der häufigste Fehler).
- Kontrollblick: Beide Terme in \(f'(x)\) sollten noch entweder \(\cos x\) oder \(\sin x\) enthalten, weil in \(f(x)\) ein trigonometrischer Faktor steckt.
Hinweis: Deine angegebene Ableitung hat genau diese Struktur. Prüfe beim Abschreiben nur sorgfältig das Minuszeichen im zweiten Term.