Thema: Sinus ableiten (Kettenregel)
Lösung
Gegeben
\( y = 18 \cdot \sin\!\left(\tfrac{1}{6}x\right) \)
Ziel
Bestimme \(y’\).
Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen
Hier ist die Funktion eine Verkettung:
- Äußere Funktion: \( \sin(u) \)
- Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{1}{6}x \)
- Zusätzlicher Faktor vor der Sinusfunktion: \(18\)
Schritt 2: Ableitungsregeln notieren
- Faktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)\)
- Sinusregel: \(\frac{d}{dx}\big(\sin(u)\big) = \cos(u)\cdot u’\) (Kettenregel)
Schritt 3: Innere Ableitung \(u'(x)\) berechnen
\(u(x) = \tfrac{1}{6}x\)
Da \(\tfrac{1}{6}\) ein konstanter Faktor ist, gilt:
\(u'(x) = \tfrac{1}{6}\)
Schritt 4: Kettenregel anwenden und Faktor 18 mitnehmen
Zuerst die Ableitung von \(\sin(u)\):
\(\frac{d}{dx}\sin(u(x)) = \cos(u(x))\cdot u'(x)\)
Jetzt mit dem äußeren Faktor \(18\):
\(y‘ = 18 \cdot \cos\!\left(\tfrac{1}{6}x\right)\cdot \tfrac{1}{6}\)
Schritt 5: Vereinfachen (ohne Endergebnis auszuschreiben)
Multipliziere die konstanten Faktoren:
\(18 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{18}{6}\)
Kürze \(\tfrac{18}{6}\), indem du Zähler und Nenner durch \(6\) teilst.
Dann steht vor dem Kosinus ein einfacher konstanter Faktor, und innen bleibt
\(\left(\tfrac{1}{6}x\right)\) unverändert.
Kontroll-Tipp
- Bei \(\sin(\,\cdot\,)\) wird die Ableitung immer zu \(\cos(\,\cdot\,)\).
- Das „Innere“ \(\tfrac{1}{6}x\) bleibt im Argument stehen und liefert zusätzlich den Faktor \(\tfrac{1}{6}\).
- Am Ende muss also ein Kosinus mit demselben Argument \(\tfrac{1}{6}x\) auftauchen.
Hinweis: Deine angegebene Lösungsidee \(y‘ = 3 \cdot \cos\!\left(\tfrac{1}{6}x\right)\) passt genau zu dem,
was beim Kürzen von \(18 \cdot \tfrac{1}{6}\) herauskommt.