Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \frac{5}{x^3} \)
Ziel
Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel.
Schritt 1: Bruch als Potenz schreiben
Damit du die Potenzregel anwenden kannst, schreibst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten:
\[
\frac{1}{x^3} = x^{-3}
\]
Also wird die Funktion:
\[
y = 5 \cdot x^{-3}
\]
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt: \((c \cdot f(x))‘ = c \cdot f'(x)\), wobei \(c\) eine Konstante ist.
Hier ist \(c = 5\) und \(f(x) = x^{-3}\). Also:
\[
y‘ = 5 \cdot (x^{-3})‘
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet: \((x^n)‘ = n \cdot x^{n-1}\).
Hier ist \(n = -3\). Dann gilt:
\[
(x^{-3})‘ = -3 \cdot x^{-4}
\]
Schritt 4: Zusammenfassen
Setze das in \(y‘ = 5 \cdot (x^{-3})’\) ein:
\[
y‘ = 5 \cdot \left(-3 \cdot x^{-4}\right)
\]
Multipliziere die Zahlen:
\[
y‘ = -15 \cdot x^{-4}
\]
Schritt 5: Zurück als Bruch schreiben
Ein negativer Exponent bedeutet wieder „im Nenner“:
\[
x^{-4} = \frac{1}{x^4}
\]
Daher kannst du schreiben:
\[
y‘ = -15 \cdot \frac{1}{x^4}
\]
(An dieser Stelle siehst du auch die Form, die in der Lösung angegeben ist.)
Tipps
- Immer erst umschreiben: Brüche wie \(\frac{1}{x^k}\) am besten als \(x^{-k}\) schreiben, dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Konstanten ausklammern: Zahlenfaktoren (wie die 5) bleiben beim Ableiten einfach als Faktor stehen.
- Vorzeichen beachten: Bei negativen Exponenten entsteht oft ein Minuszeichen im Ableitungsergebnis.