Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \frac{1}{x} \)
Ziel
Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel.
Schritt 1: Bruch als Potenz schreiben
Die Potenzregel kann man am einfachsten anwenden, wenn man den Bruch als Potenz schreibt:
\[
\frac{1}{x} = x^{-1}
\]
Also gilt:
\[
y = x^{-1}
\]
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}
\]
Hier ist \(n=-1\). Setze das ein:
\[
y‘ = (-1)\cdot x^{-1-1}
\]
Schritt 3: Exponenten vereinfachen
Im Exponenten steht:
\[
-1-1 = -2
\]
Damit:
\[
y‘ = (-1)\cdot x^{-2}
\]
Schritt 4: Zurück als Bruch schreiben
Eine negative Potenz bedeutet wieder „im Nenner“:
\[
x^{-2} = \frac{1}{x^2}
\]
Also:
\[
y‘ = (-1)\cdot \frac{1}{x^2}
\]
Tipps
- Schreibe Brüche wie \(\frac{1}{x}\) fast immer zuerst als Potenz \(x^{-1}\). Dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Merke: Beim Ableiten von \(x^n\) wird der Exponent nach vorne geholt und dann um \(1\) verringert.
- Kontrollidee: \(\frac{1}{x}\) wird für größere \(x\) kleiner, daher sollte die Ableitung negativ sein (passt zum Minuszeichen).
(Die endgültige Form von \(y’\) kannst du nun selbst aus den letzten Zeilen ablesen und mit der Angabe vergleichen.)