Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion \(y=\sqrt{x}\). Bestimme \(y’\).
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Die Potenzregel kann man am besten anwenden, wenn keine Wurzel mehr da steht.
Deshalb schreiben wir:
\[
\sqrt{x} = x^{\frac12}.
\]
Also ist
\[
y = x^{\frac12}.
\]
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}.
\]
Hier ist \(n=\frac12\). Setze das ein:
\[
y‘ = \frac12 \cdot x^{\frac12 – 1}.
\]
Schritt 3: Exponenten vereinfachen
Rechne den Exponenten aus:
\[
\frac12 – 1 = \frac12 – \frac{2}{2} = -\frac12.
\]
Damit:
\[
y‘ = \frac12 \cdot x^{-\frac12}.
\]
Schritt 4: Negative Potenz wieder als Bruch/Wurzel schreiben
Es gilt:
\[
x^{-\frac12}=\frac{1}{x^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
\]
Also:
\[
y‘ = \frac12 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}.
\]
Schritt 5: Faktorregel (Konstante nach vorne)
Die Faktorregel sagt: Eine Konstante bleibt beim Ableiten als Faktor erhalten.
Hier ist der Faktor \(\frac12\) bereits vorne, daher ist das schon passend.
Man kann noch zusammenfassen zu:
\[
y‘ = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
Tipps
- Wurzeln immer zuerst als Potenzen schreiben: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Negative Exponenten bedeuten „Kehrwert“: \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\).
- Achte auf den Definitionsbereich: \(\sqrt{x}\) ist (im Reellen) nur für \(x\ge 0\) definiert, und \(y’\) hat wegen \(\sqrt{x}\) im Nenner Probleme bei \(x=0\).
Hinweis: Die oben hergeleitete Ableitung stimmt mit der angegebenen richtigen Lösung überein.