Lösung
Thema: Ableitung von sin(x)
Gegeben:
\(y = 32 \cdot \sin(1{,}2x)\)
Ziel: \(y’\) mit allen Rechenschritten bestimmen.
1) Wichtige Ableitungsregeln
- Konstantenfaktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)\)
- Ableitung von Sinus: \(\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u)\cdot u’\) (das ist die Kettenregel)
2) Funktion in „außen“ und „innen“ zerlegen (Kettenregel)
Wir erkennen:
- Äußere Funktion: \(\sin(\,\square\,)\)
- Innere Funktion: \(u(x) = 1{,}2x\)
3) Schrittweise ableiten
Schritt A: Konstantenfaktor ausklammern
\(y = 32 \cdot \sin(1{,}2x)\)
\(\Rightarrow y‘ = 32 \cdot \frac{d}{dx}\big(\sin(1{,}2x)\big)\)
Schritt B: Sinus ableiten (Kettenregel)
\(\frac{d}{dx}\big(\sin(1{,}2x)\big) = \cos(1{,}2x)\cdot \frac{d}{dx}(1{,}2x)\)
Schritt C: Innere Ableitung berechnen
\(u(x)=1{,}2x \Rightarrow u'(x)=1{,}2\)
Schritt D: Alles zusammensetzen
\(y‘ = 32 \cdot \big(\cos(1{,}2x)\cdot 1{,}2\big)\)
Schritt E: Faktoren zusammenfassen
Multipliziere nur die Zahlen vorne:
\(32 \cdot 1{,}2 = 32 \cdot \frac{12}{10} = \frac{32\cdot 12}{10} = \frac{384}{10}\)
(hier kannst du auch noch kürzen bzw. als Dezimalzahl schreiben)
Damit ist:
\(y‘ = \left(32\cdot 1{,}2\right)\cdot \cos(1{,}2x)\)
4) Tipp zum schnellen Prüfen
Merksatz: Bei \(\sin(ax)\) kommt beim Ableiten immer ein Faktor \(a\) vorne dazu:
\(\frac{d}{dx}\big(\sin(ax)\big)=a\cos(ax)\).
Hier ist \(a=1{,}2\) und zusätzlich steht noch der Faktor \(32\) davor.
Hinweis: Du hast als Ergebnis \(38{,}4\cdot \cos(1{,}2x)\) angegeben.
Ob das passt, kannst du genau mit dem Schritt „\(32\cdot 1{,}2\)“ überprüfen (ohne dass ich dir das Endergebnis ausrechne).