Thema: Sinus ableiten (mit Kettenregel)
Lösung
Gegeben:
\( y = 13 \cdot \sin\!\left(\tfrac{4}{5}x\right) \)
Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen
Hier liegt eine verkettete Funktion vor:
- Äußere Funktion: \( \sin(u) \)
- Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{4}{5}x \)
Schritt 2: Kettenregel aufschreiben
Die Kettenregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\sin(u(x)) = \cos(u(x)) \cdot u'(x)
\]
Schritt 3: Konstante 13 mitnehmen (Faktorregel)
Weil vorne noch der Faktor 13 steht, gilt:
\[
y‘ = 13 \cdot \frac{d}{dx}\left[\sin\!\left(\tfrac{4}{5}x\right)\right]
\]
Schritt 4: Innere Ableitung berechnen
Für die innere Funktion \(u(x)=\tfrac{4}{5}x\) ist die Ableitung:
\[
u'(x) = \tfrac{4}{5}
\]
(Denn die Ableitung von \(ax\) ist \(a\).)
Schritt 5: Alles zusammensetzen
Setze nun in die Kettenregel ein:
\[
y‘ = 13 \cdot \cos\!\left(\tfrac{4}{5}x\right)\cdot \tfrac{4}{5}
\]
Schritt 6: Faktoren zusammenfassen
Multipliziere die konstanten Faktoren \(13\) und \(\tfrac{4}{5}\):
\[
13 \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{52}{5}
\]
Damit erhältst du:
\[
y‘ = \tfrac{52}{5}\cdot \cos\!\left(\tfrac{4}{5}x\right)
\]
Tipps zum schnelleren Lösen
- Merke dir das Muster: \(\frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx)\).
- Konstanten (wie 13) kannst du beim Ableiten einfach vorne stehen lassen.
- Bei \(\sin(\text{etwas})\) immer prüfen: „Was steckt innen?“ → dann Kettenregel.
Hinweis: Du hast als korrektes Ergebnis angegeben:
\( y‘ = \tfrac{52}{5}\cos\!\left(\tfrac{4}{5}x\right) \).
Die obigen Schritte zeigen genau, wie man dorthin kommt.