Thema: Erweitern und Kürzen von Brüchen
Lösung
Aufgabe: Gegeben ist der Bruch \( \frac{3}{7} \). Er soll so erweitert werden, dass ein gleichwertiger Bruch entsteht.
1) Grundidee
Einen Bruch erweitern bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl (ungleich 0) multipliziert.
Dadurch ändert sich der Wert des Bruchs nicht, weil man im Grunde mit \( \frac{k}{k} = 1 \) multipliziert.
Also gilt allgemein:
\[
\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}
\]
für jede Zahl \(k \neq 0\).
2) Passenden Erweiterungsfaktor finden
Du möchtest aus \( \frac{3}{7} \) einen Bruch machen, dessen Nenner \(35\) ist.
Dazu überlegst du: Mit welcher Zahl muss ich \(7\) multiplizieren, um \(35\) zu erhalten?
Schreibe das als kleine Gleichung:
\[
7 \cdot k = 35
\]
Jetzt findest du \(k\), indem du überlegst, wie oft die \(7\) in die \(35\) passt:
\[
k = \frac{35}{7}
\]
(Das kannst du ohne Rechner durch Kopfrechnen/Teilen herausfinden.)
3) Bruch erweitern
Wenn du den Faktor \(k\) gefunden hast, multiplizierst du Zähler und Nenner damit:
\[
\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot k}{7 \cdot k}
\]
Setze dann den gefundenen Wert für \(k\) ein und rechne die beiden Produkte aus:
\[
\frac{3 \cdot k}{7 \cdot k}
\]
Dabei erhältst du einen Bruch mit Nenner \(35\) und dem passenden Zähler.
4) Kontrolle (Tipp)
Ein schneller Check ist: Wenn du den erweiterten Bruch wieder kürzt, solltest du wieder bei \( \frac{3}{7} \) landen.
Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen.
Merktipp
- Beim Erweitern: mal dieselbe Zahl oben und unten.
- Beim Kürzen: geteilt durch dieselbe Zahl oben und unten.
- Suche den Faktor meist über den Nenner: „Wie komme ich von 7 auf 35?“
Rechne nun die Multiplikationen mit deinem \(k\) aus und du erhältst den gesuchten gleichwertigen Bruch (ohne dass ich ihn hier hinschreibe).