Kopfrechnen mit binomischen Formeln
Lösung
Aufgabe: \(89^2 – 87^2 = \_\_\_\_\).
1) Passende binomische Formel erkennen
Hier steht eine Differenz von Quadraten. Dafür gilt die Formel:
\[
a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)
\]
Setze \(a=89\) und \(b=87\). Dann wird:
\[
89^2 – 87^2 = (89-87)(89+87)
\]
2) Klammern im Kopf ausrechnen
Zuerst die Differenz:
\[
89-87 = \; \text{(rechne in kleinen Schritten: } 89-80=9,\; 9-7=2\text{)}
\]
Dann die Summe:
\[
89+87 = \; \text{(z.B. } 89+80=169,\; 169+7=176\text{)}
\]
3) Produkt bilden (ohne Taschenrechner)
Jetzt steht:
\[
(89-87)(89+87) = 2 \cdot 176
\]
Multipliziere im Kopf geschickt, z.B. durch Verdoppeln:
\[
2 \cdot 176 = 176 + 176
\]
Addiere stellenweise:
- Hunderter: \(100+100\)
- Zehner: \(70+70\)
- Einer: \(6+6\)
Setze das Ergebnis wieder zusammen – und trage es dann in die Lücke ein.
Tipps fürs schnellere Kopfrechnen
- Bei \(a^2-b^2\) immer sofort an \((a-b)(a+b)\) denken – das spart viel Arbeit.
-
Wenn \(a\) und \(b\) nah beieinander liegen (hier nur 2 auseinander), wird \((a-b)\) klein
und das Produkt dadurch besonders leicht. - \(2 \cdot 176\) ist einfach Verdoppeln – das geht meist schneller als „normal“ multiplizieren.
Hinweis: Die angegebene Umformung \((89-87)(89+87)\) ist genau der richtige Weg. Rechne nun das letzte Addieren zu Ende und setze das Resultat ein.