Aufgabe: Lineare Gleichungen mit einer Variablen
Lösung
Gegeben: \(-2a + 10 = 3a – 5\)
Hinweis: Ziel ist es, alle Terme mit \(a\) auf eine Seite zu bringen und alle Zahlen auf die andere Seite. Dabei musst du auf beiden Seiten immer dieselbe Operation durchführen.
Schritt 1: Alle \(a\)-Terme auf eine Seite bringen
Wir möchten \(-2a\) und \(3a\) zusammenfassen. Dazu können wir z.B. \(-3a\) auf beiden Seiten addieren, damit rechts das \(3a\) verschwindet:
\[
-2a + 10 = 3a – 5
\]
\[
-2a + 10 \; \color{#444}{-\,3a} = 3a – 5 \; \color{#444}{-\,3a}
\]
Rechts bleibt dann nur noch \(-5\) übrig, links können wir die \(a\)-Terme zusammenfassen:
\[
(-2a – 3a) + 10 = -5
\]
\[
-5a + 10 = -5
\]
Schritt 2: Zahlen auf die andere Seite bringen
Jetzt soll die \(10\) auf der linken Seite weg. Dafür subtrahieren wir \(10\) auf beiden Seiten:
\[
-5a + 10 = -5
\]
\[
-5a + 10 \; \color{#444}{-\,10} = -5 \; \color{#444}{-\,10}
\]
Dann ergibt sich:
\[
-5a = -15
\]
Schritt 3: Durch den Koeffizienten vor \(a\) teilen
Vor \(a\) steht \(-5\). Um \(a\) allein zu bekommen, teilst du beide Seiten durch \(-5\):
\[
\frac{-5a}{-5} = \frac{-15}{-5}
\]
Links bleibt dann \(a\) übrig. Rechts musst du den Bruch vereinfachen (achte darauf: „minus durch minus“ wird „plus“).
Kontroll-Tipp (ohne alles neu zu rechnen)
Setze deinen gefundenen Wert für \(a\) probeweise in die Ausgangsgleichung ein und prüfe, ob linke und rechte Seite gleich werden:
- Links: \(-2a + 10\)
- Rechts: \(3a – 5\)
Wenn beide Seiten denselben Wert ergeben, ist die Lösung korrekt.
Merktipp
Bei linearen Gleichungen hilft oft diese Reihenfolge:
- Variablen auf eine Seite
- Zahlen auf die andere Seite
- Am Ende durch die Zahl vor der Variablen teilen
Hinweis zur Musterlösung: Als korrekte Lösung ist angegeben: \(a = 3\). Nutze die Probe, um zu sehen, dass das passt.