Lösung
Aufgabe: \(\sqrt{0{,}0064}\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszurechnen)
Ziel ist es, die Dezimalzahl so umzuschreiben, dass man eine bekannte Quadratwurzel erkennt.
Dazu zerlegen wir \(0{,}0064\) in einen Bruch und in Quadratzahlen.
1) Dezimalzahl als Bruch schreiben
\(0{,}0064\) hat vier Nachkommastellen, also:
\[
0{,}0064 = \frac{64}{10000}
\]
2) Bruch in Quadrate zerlegen
Jetzt schreiben wir Zähler und Nenner als Quadratzahlen:
- \(64 = 8^2\)
- \(10000 = 100^2\) (denn \(100^2 = 10000\))
\[
\frac{64}{10000} = \frac{8^2}{100^2}
\]
3) Wurzelregel anwenden
Für positive Zahlen gilt:
\[
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\]
Also:
\[
\sqrt{\frac{8^2}{100^2}} = \frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{100^2}}
\]
4) Quadrate und Wurzeln heben sich auf
Weil \(\sqrt{x^2} = x\) (für \(x \ge 0\)), wird daraus:
\[
\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{100^2}} = \frac{8}{100}
\]
5) Ergebnis als Dezimalzahl schreiben (ohne es auszurechnen)
\(\frac{8}{100}\) bedeutet „8 Hundertstel“. Das kann man als Dezimalzahl schreiben, indem man das Komma zwei Stellen nach links verschiebt:
\[
\frac{8}{100} = 0{,}\_\_
\]
Tipp
Bei Dezimalzahlen wie \(0{,}0064\) lohnt es sich fast immer, sie als Bruch mit einer Zehnerpotenz zu schreiben
(also \(\frac{\text{ganze Zahl}}{10^n}\)). Dann kann man oft Quadratzahlen erkennen, z.B. \(64 = 8^2\) und \(10000 = 100^2\).
Kontrolle: Wenn du am Ende eine Zahl der Form \(\frac{8}{100}\) hast, kannst du prüfen, ob beim Quadrieren wieder \(0{,}0064\) herauskommt:
\[
\left(\frac{8}{100}\right)^2 = \frac{64}{10000} = 0{,}0064
\]
(Damit siehst du, dass der Weg stimmt.)