Lösung
Aufgabe: \(\sqrt{0{,}2025}\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszurechnen)
Ziel ist es, die Dezimalzahl so umzuschreiben, dass man eine bekannte Quadratwurzel nutzen kann.
Dazu verwandeln wir die Dezimalzahl in einen Bruch.
1) Dezimalzahl als Bruch schreiben
\(0{,}2025\) hat vier Nachkommastellen, also:
\[
0{,}2025 = \frac{2025}{10000}
\]
2) Wurzel auf Zähler und Nenner verteilen
\[
\sqrt{0{,}2025} = \sqrt{\frac{2025}{10000}} = \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{10000}}
\]
3) Quadratwurzeln erkennen
Jetzt prüfen wir, ob Zähler und Nenner Quadratzahlen sind:
- \(2025 = 45^2\), denn \(45 \cdot 45 = 2025\).
- \(10000 = 100^2\), denn \(100 \cdot 100 = 10000\).
Damit wird:
\[
\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{10000}} = \frac{45}{100}
\]
4) Bruch als Dezimalzahl schreiben
\(\frac{45}{100}\) bedeutet „45 Hundertstel“. Das schreibt man als Dezimalzahl, indem man das Komma zwei Stellen nach links setzt.
Tipps
- Wenn eine Dezimalzahl genau 2 oder 4 Nachkommastellen hat, lohnt sich fast immer der Weg über einen Bruch mit \(100\) oder \(10000\).
- Merke dir häufige Quadratzahlen: \(45^2 = 2025\), \(50^2 = 2500\), \(40^2 = 1600\). Das hilft beim schnellen Erkennen.
- Kontrolle: Das Ergebnis muss kleiner als \(1\) sein, weil \(0{,}2025 < 1\). Außerdem liegt es zwischen \(\sqrt{0{,}16}=0{,}4\) und \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\).
Wenn du die letzten beiden Schritte sauber ausführst, erhältst du genau den angegebenen Wert.