Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(6x^2 – 6x – 12 = 0\)
1) In die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deshalb muss vor \(x^2\) eine 1 stehen.
Teile die ganze Gleichung durch 6:
\[
\frac{6x^2}{6} – \frac{6x}{6} – \frac{12}{6} = 0
\]
Vereinfache jeden Term:
\[
x^2 – x – 2 = 0
\]
2) \(p\) und \(q\) ablesen
Vergleiche
\[
x^2 – x – 2 = 0
\]
mit
\[
x^2 + px + q = 0.
\]
Daraus folgt:
- \(p = -1\)
- \(q = -2\)
(Das stimmt mit der angegebenen Lösung überein.)
3) pq-Formel anwenden
Die pq-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
Setze \(p=-1\) und \(q=-2\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 – (-2)}
\]
4) Schrittweise vereinfachen
Zuerst der Teil vor dem Wurzelzeichen:
\[
-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}
\]
Jetzt der Ausdruck unter der Wurzel:
\[
\left(\frac{-1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
und
\[
-(-2) = +2
\]
Also steht unter der Wurzel:
\[
\frac{1}{4} + 2
\]
Tipp: Schreibe \(2\) als Viertel, damit du addieren kannst:
\[
2 = \frac{8}{4}
\]
Dann wird daraus:
\[
\frac{1}{4} + \frac{8}{4}
\]
Damit hast du die Lösungen schon in der Form
\[
x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\;\text{(dieser Bruch)}\;}
\]
vorbereitet.
5) Kontrolle (Tipp)
Wenn du später zwei Werte für \(x\) erhalten hast, kannst du zur Kontrolle
jeden Wert in die vereinfachte Gleichung
\[
x^2 – x – 2 = 0
\]
einsetzen und prüfen, ob links wirklich \(0\) herauskommt.
Hinweis: Den endgültigen Zahlenwert der Lösungen sollst du jetzt selbst zu Ende vereinfachen.