Thema: Quadratische Gleichungen der Form \(x^2 – q = 0\)
Lösung
Aufgabe
Löse die Gleichung:
\[
x^2 – 48 = 0
\]
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
1) Gleichung in die Grundform bringen
Die Gleichung ist schon fast in der Form \(x^2 = q\).
Bringe die Zahl 48 auf die andere Seite, indem du auf beiden Seiten \(48\) addierst:
\[
x^2 – 48 + 48 = 0 + 48
\]
Damit erhältst du:
\[
x^2 = 48
\]
2) Wurzel ziehen (zwei Lösungen beachten)
Wenn \(x^2 = 48\), dann erhält man beim Wurzelziehen immer zwei Möglichkeiten:
\[
x = \pm \sqrt{48}
\]
Das \(\pm\) ist wichtig, weil sowohl eine positive als auch eine negative Zahl beim Quadrieren positiv wird.
3) Wurzel vereinfachen
Zerlege \(48\) so, dass ein Quadrat als Faktor vorkommt:
\[
48 = 16 \cdot 3
\]
Dann kannst du die Wurzel aufteilen:
\[
\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{3}
\]
Da \(\sqrt{16} = 4\), wird daraus:
\[
\sqrt{48} = 4\sqrt{3}
\]
4) Lösungen als Lösungsmenge notieren
Setze die vereinfachte Wurzel wieder in \(x = \pm \sqrt{48}\) ein und schreibe beide Lösungen in die Lösungsmenge \(L\).
(Hier nicht noch einmal ausgeschrieben, damit du den letzten Schritt selbst eintragen kannst.)
Tipps
- Bei Gleichungen der Form \(x^2 = q\) gilt immer: \(x = \pm \sqrt{q}\).
-
Zum Vereinfachen von Wurzeln suche immer nach einem Quadrat in der Zahl (z.B. \(4, 9, 16, 25, \dots\)).
Hier ist \(48 = 16\cdot 3\) besonders praktisch. - Kurze Probe: Quadriere beide gefundenen Werte. Du solltest wieder \(48\) erhalten.