$$ (x – 5)^2 – 20 = 0 $$

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Lösen der quadratischen Gleichung

Lösung

Gegeben ist die quadratische Gleichung: \((x – 5)^2 – 20 = 0\).

Unser Ziel ist es, die Werte von \(x\) zu finden, die diese Gleichung erfüllen.

Schritte zur Lösung:

  1. Isolieren des quadratischen Terms:
    Beginne damit, die Gleichung so umzustellen, dass der quadratische Term isoliert wird:
    \[
    (x – 5)^2 – 20 = 0 \implies (x – 5)^2 = 20
    \]
  2. Wurzelziehen:
    Um \(x – 5\) zu finden, ziehen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung:
    \[
    x – 5 = \pm \sqrt{20}
    \]
    Beachte, dass wir sowohl die positive als auch die negative Wurzel betrachten müssen.
  3. Lösen nach \(x\):
    Um \(x\) zu finden, addiere 5 zu beiden Seiten der Gleichung:
    \[
    x = 5 \pm \sqrt{20}
    \]

Tipps:

  • Denke daran, dass das Quadratwurzelziehen zwei Lösungen ergibt: eine positive und eine negative.
  • Manchmal ist es hilfreich, \(\sqrt{20}\) in seine Primfaktoren zu zerlegen, um es weiter zu vereinfachen. In diesem Fall ist \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\).

Die Lösungen der Gleichung sind daher \(x = 5 + \sqrt{20}\) und \(x = 5 – \sqrt{20}\), aber es ist wichtig, den Rechenweg zu verstehen, anstatt nur das Ergebnis zu übernehmen.

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