Zahlen vergleichen: 9/10, 0,91, −1/8

Lösung

Gegeben sind die Zahlen \(\frac{9}{10}\), \(0{,}91\), \(-\frac{1}{8}\), \(-0{,}2\), \(\frac{3}{4}\), \(1{,}08\), \(\frac{11}{9}\).

Schritt 1: nach Vorzeichen trennen

Negativ: \(-0{,}2\), \(-\frac{1}{8}\). Positiv: \(\frac{3}{4}\), \(\frac{9}{10}\), \(0{,}91\), \(1{,}08\), \(\frac{11}{9}\). Jede negative Zahl ist kleiner als 0 und damit kleiner als jede positive Zahl der Liste.

Unter den negativen Zahlen ist die mit dem größeren Betrag die kleinere (weiter links auf der Zahlengeraden).

Schritt 2: jede Zahl ohne Taschenrechner vergleichbar machen

• \(\frac{9}{10} = 0{,}9\).
• \(0{,}91\) ist schon als Dezimalzahl gegeben.
• \(\frac{1}{8} = 0{,}125\) (Hälfte von \(0{,}25\)). Mit Vorzeichen: \(-0{,}125\).
• \(-0{,}2\) ist schon als Dezimalzahl gegeben.
• \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) (drei Viertel).
• \(1{,}08\) ist schon als Dezimalzahl gegeben.
• 11 : 9 = 1 Rest 2. 20 : 9 = 2 Rest 2 — die Ziffern 2 wiederholen sich. Also \(1{,}\overline{2}\).

Schritt 3: benachbarte Zahlen einzeln vergleichen (vom Größten zum Kleinsten (Zeichen \(>\)))

Als Dezimalzahlen: \(\frac{11}{9}\) = \(1{,}\overline{2}\) und \(1{,}08\) = \(1{,}08\). Ziffernweise von links: \(1{,}\overline{2}\) ist größer als \(1{,}08\), also \(\frac{11}{9}\) > \(1{,}08\).

Als Dezimalzahlen: \(1{,}08\) = \(1{,}08\) und \(0{,}91\) = \(0{,}91\). Ziffernweise von links: \(1{,}08\) ist größer als \(0{,}91\), also \(1{,}08\) > \(0{,}91\).

Als Dezimalzahlen: \(0{,}91\) = \(0{,}91\) und \(\frac{9}{10}\) = \(0{,}9\). Ziffernweise von links: \(0{,}91\) ist größer als \(0{,}9\), also \(0{,}91\) > \(\frac{9}{10}\).

Zwei positive Brüche per Kreuzprodukt: \(9 \cdot 4\) = \(36\) und \(3 \cdot 10\) = \(30\). Weil 36 > 30, gilt \(\frac{9}{10}\) > \(\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\) ist positiv, \(-\frac{1}{8}\) ist negativ. Jede positive Zahl ist größer als jede negative: \(\frac{3}{4}\) > \(-\frac{1}{8}\).

Beide negativ: je größer der Betrag, desto kleiner die Zahl. Betrag von \(-0{,}2\) ist \(\frac{1}{5}\) (\(0{,}2\)), Betrag von \(-\frac{1}{8}\) ist \(\frac{1}{8}\) (\(0{,}125\)). \(0{,}2\) > \(0{,}125\), daher \(-0{,}2\) \(-0{,}2\).

Zusammen: \[ \frac{11}{9} > 1{,}08 > 0{,}91 > \frac{9}{10} > \frac{3}{4} > -\frac{1}{8} > -0{,}2 \]

Ergebnis: \( \frac{11}{9} > 1{,}08 > 0{,}91 > \frac{9}{10} > \frac{3}{4} > -\frac{1}{8} > -0{,}2 \).

Tipp für ähnliche Aufgaben

• Die engste Stelle in dieser Liste ist \(\frac{9}{10}\) gegen \(0{,}91\): beide vergleichbar machen (\(0{,}9\) und \(0{,}91\)) und dann ziffernweise von links lesen.
• Negative nicht nach dem Betrag in dieselbe Richtung sortieren: \(-0{,}2\) ist kleiner als \(-\frac{1}{8}\), obwohl der Betrag von \(-0{,}2\) größer ist.
• Brüche wie \(\frac{9}{10}\) schriftlich dividieren (Rest notieren, nicht raten) — hier \(0{,}9\) — statt sie nur „ungefähr“ neben eine Dezimalzahl zu legen.