Bruchgleichungen Stufe 1
Lösung
Aufgabe: \(\frac{11x}{2x^2} = 4 \quad (x \ne 0)\)
1) Definitionsmenge / Einschränkung
Im Nenner steht \(2x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein:
\(2x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Diese Bedingung ist bereits angegeben und muss am Ende beachtet werden.
2) Bruch vereinfachen
Schau dir den Bruch \(\frac{11x}{2x^2}\) an: Im Zähler steht \(x\), im Nenner steht \(x^2\).
Man kann ein \(x\) kürzen (weil \(x \ne 0\) gilt):
\[
\frac{11x}{2x^2} = \frac{11}{2x}.
\]
Damit wird die Gleichung einfacher:
\[
\frac{11}{2x} = 4.
\]
3) Bruchgleichung lösen (Nenner beseitigen)
Um den Nenner \(2x\) loszuwerden, multiplizierst du beide Seiten mit \(2x\).
(Das ist erlaubt, weil \(x \ne 0\) und damit \(2x \ne 0\).)
\[
\frac{11}{2x}\cdot (2x) = 4 \cdot (2x).
\]
Links kürzt sich \(2x\) weg:
\[
11 = 4 \cdot 2x.
\]
4) Weiter umformen bis \(x = \dots\)
Jetzt steht rechts ein Produkt. Zuerst kannst du \(4 \cdot 2\) zusammenfassen:
\[
11 = 8x.
\]
Um \(x\) alleine zu bekommen, teilst du beide Seiten durch \(8\):
\[
\frac{11}{8} = x.
\]
5) Probe / Kontrolle (kurz)
Setze den gefundenen Wert gedanklich in \(\frac{11}{2x} = 4\) ein und prüfe, ob links wirklich \(4\) herauskommt.
Außerdem: Der Wert darf nicht \(0\) sein (Definitionsmenge).
Tipps
- Kürze zuerst, wenn möglich (hier \(x\) gegen \(x^2\)), dann wird die Gleichung viel leichter.
- Beim Multiplizieren mit dem Nenner immer kurz prüfen, ob du dabei nicht mit \(0\) multiplizierst (deshalb die Bedingung \(x \ne 0\)).
- Schreibe Umformungen Schritt für Schritt auf, damit du keine Faktoren vergisst.
Hinweis: Den letzten Zahlenwert kannst du auch als Bruch stehen lassen; das ist oft die sauberste Form.