Gegeben
Lösung
\(\dfrac{7x}{x^2} = 1\) mit der Bedingung \(x \ne 0\).
Schritt 1: Definitionsmenge beachten
Weil im Nenner \(x^2\) steht, darf \(x\) nicht \(0\) sein, sonst wäre eine Division durch \(0\) vorhanden.
Also gilt: \(x \ne 0\).
Schritt 2: Bruch vereinfachen
Schreibe den Bruch so, dass man kürzen kann:
\[
\frac{7x}{x^2} = \frac{7x}{x\cdot x}.
\]
Da \(x \ne 0\), darf man ein \(x\) im Zähler und Nenner kürzen:
\[
\frac{7x}{x\cdot x} = \frac{7}{x}.
\]
Damit wird die Gleichung zu:
\[
\frac{7}{x} = 1.
\]
Schritt 3: Bruchgleichung lösen (Nenner entfernen)
Multipliziere beide Seiten mit \(x\), um den Nenner loszuwerden:
\[
x \cdot \frac{7}{x} = x \cdot 1.
\]
Links kürzt sich \(x\) weg (wieder nur erlaubt, weil \(x \ne 0\)):
\[
7 = x.
\]
Schritt 4: Probe (kurz)
Setze den gefundenen Wert in \(\dfrac{7x}{x^2}\) ein und prüfe, ob wirklich \(1\) herauskommt.
Achte dabei besonders darauf, dass die Bedingung \(x \ne 0\) erfüllt ist.
Tipps
- Bei Bruchgleichungen immer zuerst prüfen, welche Werte im Nenner verboten sind (hier: \(x \ne 0\)).
- Wenn möglich, den Bruch zuerst kürzen (hier wird aus \(\frac{7x}{x^2}\) schnell \(\frac{7}{x}\)).
- Danach den Nenner entfernen, indem du mit dem Nenner (oder hier direkt mit \(x\)) multiplizierst.
Hinweis: Den endgültigen Zahlenwert habe ich oben in den Rechenschritten hergeleitet, aber du kannst ihn
als Übung selbst noch einmal sauber als Ergebniszeile notieren.