Aufgabe
Lösung
Löse die Bruchgleichung:
\(\frac{6x}{x^2} = 3\) mit der Bedingung \(x \ne 0\).
Schritt 1: Definitionsmenge / Einschränkung beachten
Im Nenner steht \(x^2\). Ein Nenner darf nie \(0\) sein, also gilt:
\(x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Diese Bedingung ist bereits gegeben und muss am Ende beachtet werden.
Schritt 2: Bruch vereinfachen
Schreibe den Bruch so, dass man kürzen kann:
\(\frac{6x}{x^2} = \frac{6x}{x\cdot x}\)
Da \(x \ne 0\), darf man ein \(x\) kürzen:
\(\frac{6x}{x\cdot x} = \frac{6}{x}\)
Damit wird die Gleichung zu:
\(\frac{6}{x} = 3\)
Schritt 3: Nenner entfernen (beide Seiten mit \(x\) multiplizieren)
Multipliziere beide Seiten mit \(x\) (das ist erlaubt, weil \(x \ne 0\)):
\(x \cdot \frac{6}{x} = x \cdot 3\)
Links kürzt sich \(x\) weg:
\(6 = 3x\)
Das entspricht genau der angegebenen richtigen Umformung: \(6 = 3 \times x\).
Schritt 4: Nach \(x\) auflösen
Um \(x\) allein zu bekommen, teilst du beide Seiten durch \(3\):
\(\frac{6}{3} = x\)
Vereinfache den Bruch \(\frac{6}{3}\) durch Kürzen mit \(3\).
Schritt 5: Probe und Bedingung
Setze den gefundenen Wert (nach dem Kürzen) in \(\frac{6}{x} = 3\) ein und prüfe,
ob links wirklich \(3\) herauskommt. Außerdem muss \(x \ne 0\) erfüllt sein.
Tipps
- Wenn im Zähler und Nenner ein gemeinsamer Faktor steht (hier ein \(x\)), lohnt sich oft zuerst das Kürzen.
- Bei Bruchgleichungen immer zuerst die Einschränkungen aus dem Nenner notieren (hier: \(x \ne 0\)).