Thema: Stammfunktionen von E-Funktionen
Lösung
Gegeben: \( f(x)=\frac{3}{5}e^{5x} \)
Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\) mit \(F'(x)=f(x)\).
Schritt 1: Passende Grundregel erkennen
Eine wichtige Regel lautet:
\[
\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C \quad (a\neq 0)
\]
Denn wenn man \(\frac{1}{a}e^{ax}\) ableitet, kommt durch die Kettenregel der Faktor \(a\) dazu, und es bleibt wieder \(e^{ax}\) übrig.
Schritt 2: Den Vorfaktor mitnehmen
In deiner Funktion steht zusätzlich der konstante Faktor \(\frac{3}{5}\). Den darf man beim Integrieren einfach „mitnehmen“:
\[
\int \frac{3}{5}e^{5x}\,dx=\frac{3}{5}\int e^{5x}\,dx
\]
Schritt 3: \( \int e^{5x}\,dx \) integrieren
Hier ist \(a=5\). Also:
\[
\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C
\]
Schritt 4: Alles zusammenfassen
Jetzt den Vorfaktor \(\frac{3}{5}\) wieder davor multiplizieren:
\[
\frac{3}{5}\left(\frac{1}{5}e^{5x}\right)+C
\]
Multipliziere die Brüche:
\[
\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{25}
\]
Damit erhältst du als Stammfunktion die Form:
\[
F(x)=\frac{3}{25}e^{5x}+C
\]
Kontroll-Tipp (Ableiten)
Um zu prüfen, ob es stimmt, kannst du \(F(x)\) ableiten:
\[
\left(\frac{3}{25}e^{5x}\right)’=\frac{3}{25}\cdot 5e^{5x}=\frac{3}{5}e^{5x}
\]
Das ist genau \(f(x)\). Damit weißt du, dass dein Rechenweg korrekt ist.
Merktipp
Bei \(e^{ax}\) kommt beim Integrieren immer „durch \(a\) teilen“ dazu:
\(e^{5x}\) → \(\frac{1}{5}e^{5x}\)
und alle konstanten Faktoren davor bleiben als Multiplikation erhalten.