Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \frac{3}{x} \)
Ziel
Bestimme \(y’\) mithilfe der Faktorregel und der Potenzregel.
Schritt 1: Bruch als Potenz schreiben
Die Potenzregel funktioniert am einfachsten, wenn kein Bruch mehr da steht.
Schreibe daher
\[
\frac{3}{x} = 3 \cdot \frac{1}{x} = 3 \cdot x^{-1}.
\]
Also gilt:
\[
y = 3 \cdot x^{-1}.
\]
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt:
\[
(c \cdot f(x))‘ = c \cdot f'(x)
\]
für eine Konstante \(c\).
Hier ist \(c = 3\) und \(f(x) = x^{-1}\). Also:
\[
y‘ = 3 \cdot (x^{-1})‘.
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
(x^n)‘ = n \cdot x^{n-1}.
\]
Hier ist \(n = -1\). Setze das ein:
\[
(x^{-1})‘ = -1 \cdot x^{-2}.
\]
Schritt 4: Zusammenfassen
Setze das in \(y‘ = 3 \cdot (x^{-1})’\) ein:
\[
y‘ = 3 \cdot \left(-1 \cdot x^{-2}\right).
\]
Jetzt kannst du die Faktoren zusammenfassen:
\[
y‘ = \; \text{(hier erhältst du eine negative Zahl)} \cdot x^{-2}.
\]
Schritt 5: Ergebnis wieder als Bruch schreiben
Den Ausdruck \(x^{-2}\) kannst du wieder als Bruch schreiben:
\[
x^{-2} = \frac{1}{x^2}.
\]
Damit kannst du \(y’\) in der Form „Bruch mit \(x^2\) im Nenner“ notieren.
Tipps
- Wenn du einen Bruch wie \(\frac{1}{x}\) siehst, denke sofort an \(x^{-1}\). Das macht die Ableitung mit der Potenzregel sehr schnell.
- Konstante Faktoren (wie die \(3\)) kannst du beim Ableiten einfach „stehen lassen“ und am Ende wieder dazuschreiben.
- Achte bei negativen Exponenten besonders auf das Minuszeichen: Bei \(n=-1\) kommt vorne ein Minus heraus.