Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \sqrt[4]{x} \)
Ziel
Bestimme die Ableitung \(y’\) mit Potenzregel (und ggf. Faktorregel).
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Eine \(4\)-te Wurzel kann man als Potenz mit Exponent \( \frac{1}{4} \) schreiben:
\[
\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}
\]
Also gilt:
\[
y = x^{\frac{1}{4}}
\]
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}
\]
Hier ist \(n=\frac{1}{4}\). Setze das ein:
\[
y‘ = \frac{1}{4}\cdot x^{\frac{1}{4}-1}
\]
Schritt 3: Exponenten vereinfachen
Rechne im Exponenten:
\[
\frac{1}{4}-1 = \frac{1}{4}-\frac{4}{4} = -\frac{3}{4}
\]
Damit:
\[
y‘ = \frac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}
\]
Schritt 4: Negative Exponenten als Bruch schreiben
Es gilt allgemein:
\[
x^{-a}=\frac{1}{x^a}
\]
Also:
\[
x^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}
\]
Damit kannst du schreiben:
\[
y‘ = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}
\]
Schritt 5: \(x^{3/4}\) wieder als Wurzel schreiben
\[
x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}
\]
(weil \(x^{3/4} = (x^3)^{1/4}\)).
Dann wird der Nenner zu \( \sqrt[4]{x^3} \), und du erhältst:
\[
y‘ = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}
\]
Tipps
- Wurzeln immer zuerst in Potenzen umschreiben, dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Nach dem Ableiten negative Exponenten in einen Bruch umformen – das sieht oft „schöner“ aus.
- Beim Umformen zurück zur Wurzelschreibweise hilft: \(x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}\).
Hinweis: Ich habe den Rechenweg vollständig gezeigt, ohne das Ergebnis als „Ende“ zu markieren.