Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = -5x^2 \)
Ziel
Bestimme die Ableitung \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel.
Schritt 1: Funktion passend „zerlegen“
Du kannst \(y\) als Produkt aus einer Konstante und einer Potenz schreiben:
\( y = (-5)\cdot x^2 \)
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt:
\( (c\cdot f(x))‘ = c\cdot f'(x) \)
Hier ist \(c=-5\) und \(f(x)=x^2\). Also:
\( y‘ = (-5)\cdot (x^2)‘ \)
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\( (x^n)‘ = n\cdot x^{n-1} \)
Für \(n=2\) ergibt sich:
\( (x^2)‘ = 2\cdot x^{2-1} = 2x^1 \)
Schritt 4: Zusammen einsetzen und vereinfachen
Setze das in Schritt 2 ein:
\( y‘ = (-5)\cdot (2x^1) \)
Jetzt nur noch die Faktoren zusammenfassen und \(x^1\) als \(x\) schreiben.
Tipp
-
Schreibe Potenzen wie \(x^2\) immer als „Exponent runter, Exponent minus 1“:
\(x^2 \rightarrow 2x^{1}\). - Konstanten (wie \(-5\)) bleiben beim Ableiten einfach als Faktor stehen.
Hinweis: Die korrekte Ableitung ist gegeben als \(y‘ = -10x\).
Versuche, im letzten Schritt genau auf diese Form zu kommen, indem du sauber vereinfachst.