Aufgabe: Trigonometrische Identitäten
Lösung
Gegeben: \(\tan x \cdot \cos x\)
Hinweis (Ziel laut Angabe): \(\sin x\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
Der wichtigste Trick bei solchen Aufgaben ist, \(\tan x\) in eine Form umzuschreiben,
die nur \(\sin x\) und \(\cos x\) enthält. Dafür nutzt man die Grundidentität:
\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)
Jetzt setzt du das in den Ausdruck \(\tan x \cdot \cos x\) ein:
\(\tan x \cdot \cos x = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)\cdot \cos x\)
Nun kannst du kürzen: Im Zähler steht ein Faktor \(\cos x\), und im Nenner steht auch \(\cos x\).
Das Kürzen entspricht dem Rechenschritt
\(\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\cos x}\).
Da \(\dfrac{\cos x}{\cos x} = 1\) (sofern \(\cos x \neq 0\)), bleibt nur noch der Sinus übrig.
Wichtiger Hinweis zur Gültigkeit
Beachte: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) ist nur definiert, wenn \(\cos x \neq 0\).
Das heißt, die Umformung gilt für alle \(x\), bei denen \(\cos x\) nicht null ist.
Tipps zum schnelleren Lösen
- Wenn \(\tan\) vorkommt, schreibe fast immer \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).
- Wenn danach mit \(\cos x\) oder \(\sin x\) multipliziert wird, kannst du oft direkt kürzen.
- Überprüfe am Ende kurz, ob du durch etwas geteilt hast, das auch null sein könnte (Definitionsmenge).
Letzter Schritt: Schreibe nun das Ergebnis der Kürzung als einfache trigonometrische Funktion auf
(es soll laut Angabe \(\sin x\) herauskommen) – diesen letzten Ausdruck notierst du selbst.