Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe: Löse die Gleichung
\(x^2 + 0{,}8x – 0{,}48 = 0\)
Gegeben: \(p = 0{,}8\), \(q = -0{,}48\)
1) Prüfen, ob die pq-Form passt
Die pq-Formel gilt direkt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deine Gleichung \(x^2 + 0{,}8x – 0{,}48 = 0\) ist genau in dieser Form,
also können wir \(p = 0{,}8\) und \(q = -0{,}48\) direkt einsetzen.
2) pq-Formel aufschreiben
Die pq-Formel lautet:
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\)
3) Schrittweise einsetzen
a) Zuerst \(-\frac{p}{2}\) berechnen
\(-\frac{p}{2} = -\frac{0{,}8}{2}\)
Tipp: \(0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\). Dann ist
\(\frac{0{,}8}{2} = \frac{4/5}{2} = \frac{4}{10} = 0{,}4\).
Also ist \(-\frac{p}{2} = -0{,}4\).
b) Den Ausdruck unter der Wurzel berechnen
Unter der Wurzel steht:
\(\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q\)
Setze \(p=0{,}8\) und \(q=-0{,}48\) ein:
\(\left(\frac{0{,}8}{2}\right)^2 – (-0{,}48)\)
Wir wissen schon: \(\frac{0{,}8}{2} = 0{,}4\). Also:
\((0{,}4)^2 + 0{,}48\)
Jetzt \((0{,}4)^2\):
\(0{,}4 = \frac{4}{10}\), also
\((0{,}4)^2 = \left(\frac{4}{10}\right)^2 = \frac{16}{100} = 0{,}16\).
Damit wird der Wurzelausdruck:
\(0{,}16 + 0{,}48\)
Tipp zum Kopfrechnen: Addiere erst die Hundertstel:
\(0{,}16 + 0{,}48 = (16 + 48)\) Hundertstel.
Also ist der Ausdruck unter der Wurzel gleich (hier bitte selbst ausrechnen).
c) Wurzel ziehen und beide Lösungen aufschreiben
Setze alles in die pq-Formel ein:
\(x_{1,2} = -0{,}4 \pm \sqrt{\;\text{(dein Ergebnis aus b)}\;}\)
Jetzt erhältst du zwei Werte:
- \(x_1 = -0{,}4 + \sqrt{\;\text{(dein Ergebnis)}\;}\)
- \(x_2 = -0{,}4 – \sqrt{\;\text{(dein Ergebnis)}\;}\)
4) Kontroll-Tipp (ohne Taschenrechner)
Wenn du zwei Kandidaten für \(x\) hast, setze sie kurz in
\(x^2 + 0{,}8x – 0{,}48\) ein. Wenn wirklich eine Lösung vorliegt,
muss am Ende \(0\) herauskommen.
Merktipp: Bei Dezimalzahlen hilft es oft, sie als Brüche zu schreiben
(z.B. \(0{,}8=\frac45\), \(0{,}48=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}\)),
dann werden Quadrieren und Addieren übersichtlicher.