$$ \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} $$

Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln

Lösung

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Gegeben ist der Bruch: \(\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}\).

Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren, d.h. den Nenner ohne Wurzeln zu schreiben.

Schritte zur Lösung:

1. Um den Nenner zu rationalisieren, multiplizieren wir den Bruch mit dem konjugierten Nenner. Der konjugierte Nenner von \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\) ist \(\sqrt{7} – \sqrt{5}\).

2. Multiplizieren wir den Bruch:

   \[
   \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} – \sqrt{5}}{\sqrt{7} – \sqrt{5}} = \frac{4(\sqrt{7} – \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} – \sqrt{5})}
   \]

3. Der Nenner ist eine binomische Formel, nämlich die dritte binomische Formel: \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).

   Hier ist \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{5}\). Wenden wir die Formel an:

   \[
   (\sqrt{7})^2 – (\sqrt{5})^2 = 7 – 5 = 2
   \]

4. Setzen wir das Ergebnis in den Bruch ein:

   \[
   \frac{4(\sqrt{7} – \sqrt{5})}{2}
   \]

5. Jetzt können wir den Bruch vereinfachen, indem wir den Zähler mit dem Nenner kürzen:

   \[
   \frac{4(\sqrt{7} – \sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7} – \sqrt{5})
   \]

Tipps:

• Denke immer daran, dass das Multiplizieren mit dem konjugierten Nenner die einfachste Methode ist, um den Nenner zu rationalisieren.
• Übe die Anwendung der binomischen Formeln, da sie sehr nützlich sind, um solche Probleme zu lösen.

Versuche, die Schritte selbst zu wiederholen, um sicherzustellen, dass du den Prozess verstehst!