23/(6+√7) rationalisieren

Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln

Gegeben ist der Ausdruck: \(\frac{23}{6 + \sqrt{7}}\).

Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren. Das bedeutet, wir möchten den Nenner in eine Form bringen, die keine Wurzeln mehr enthält.

Um den Nenner zu rationalisieren, multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners. Der konjugierte Ausdruck von \(6 + \sqrt{7}\) ist \(6 – \sqrt{7}\).
Multipliziere den Bruch: \(\frac{23}{6 + \sqrt{7}} \times \frac{6 – \sqrt{7}}{6 – \sqrt{7}}\).
Nun erhalten wir: \(\frac{23(6 – \sqrt{7})}{(6 + \sqrt{7})(6 – \sqrt{7})}\).
Berechne den Nenner mit der dritten binomischen Formel: \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
- \(a = 6\), \(b = \sqrt{7}\).
- \(a^2 = 6^2 = 36\).
- \(b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7\).
- Somit ist der Nenner: \(36 – 7 = 29\).
Nun multiplizieren wir den Zähler: \(23(6 – \sqrt{7})\).
- Das ergibt: \(23 \times 6 – 23 \times \sqrt{7} = 138 – 23\sqrt{7}\).
Setze alles zusammen: \(\frac{138 – 23\sqrt{7}}{29}\).

Sei aufmerksam beim Multiplizieren mit dem konjugierten Ausdruck. Es ist ein häufiger Fehler, nur den Zähler oder den Nenner zu ändern.
Die binomischen Formeln sind sehr nützlich beim Rationalisieren von Ausdrücken. Stelle sicher, dass du sie gut verstehst.