Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln
Lösung
Gegeben ist der Bruch:
\(\frac{10}{\sqrt{8} + \sqrt{5}}\)
Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren. Dazu multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners. Der konjugierte Wert von \(\sqrt{8} + \sqrt{5}\) ist \(\sqrt{8} – \sqrt{5}\).
Also multiplizieren wir:
\[
\frac{10}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{8} – \sqrt{5}}{\sqrt{8} – \sqrt{5}}
\]
Im Zähler ergibt sich:
\[
10 \cdot (\sqrt{8} – \sqrt{5}) = 10\sqrt{8} – 10\sqrt{5}
\]
Im Nenner verwenden wir die dritte binomische Formel: \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\).
Das ergibt:
\[
(\sqrt{8} + \sqrt{5})(\sqrt{8} – \sqrt{5}) = (\sqrt{8})^2 – (\sqrt{5})^2 = 8 – 5 = 3
\]
Der rationalisierte Bruch ist also:
\[
\frac{10\sqrt{8} – 10\sqrt{5}}{3}
\]
Um das Rechnen zu vereinfachen, ist es nützlich, sich die binomischen Formeln gut einzuprägen und immer nach dem konjugierten Wert des Nenners zu suchen, um Wurzeln zu rationalisieren.