$$ \frac{27}{\sqrt{23} + \sqrt{8}} $$

Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln

Lösung

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Wir sollen den Ausdruck $\frac{27}{\sqrt{23}+\sqrt{8}}$ rationalisieren. Das bedeutet, wir wollen den Nenner von Wurzeln befreien.

Schritte zur Lösung:

1. Identifiziere den Nenner: $\sqrt{23}+\sqrt{8}$.

2. Um den Nenner zu rationalisieren, multiplizieren wir Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners. Der konjugierte Wert ist $\sqrt{23}–\sqrt{8}$.

3. Multipliziere den Zähler und den Nenner mit dem konjugierten Wert:

   $\frac{27(\sqrt{23}–\sqrt{8})}{(\sqrt{23}+\sqrt{8})(\sqrt{23}–\sqrt{8})}$

4. Der Nenner wird durch die Anwendung der dritten binomischen Formel vereinfacht: $\left(\sqrt{23}\right)^2–\left(\sqrt{8}\right)^2=23–8=15$.

5. Jetzt multiplizieren wir den Zähler:

   $27\sqrt{23}–27\sqrt{8}$

6. Setze alles zusammen:

   $\frac{27\sqrt{23}–27\sqrt{8}}{15}$

7. Jetzt kannst du den Ausdruck weiter vereinfachen, indem du $27$ im Zähler und $15$ im Nenner kürzt.

Tipps:

• Die binomische Formel, die wir hier verwenden, ist: $(a+b)(a–b)=a^2–b^2$.
• Das Ziel ist es, den Nenner in eine rationale Zahl umzuwandeln, damit er keine Wurzeln mehr enthält.