Aufgabe: Gleichungen mit Brüchen lösen
Lösung
Gegeben: \(\frac{1}{5}x = 4\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
Ziel ist es, \(x\) allein auf eine Seite zu bekommen. Hier steht vor \(x\) der Bruch
\(\frac{1}{5}\). Um \(x\) freizustellen, machen wir die Multiplikation mit \(\frac{1}{5}\)
rückgängig.
1) Mit dem Kehrwert multiplizieren
Der Kehrwert von \(\frac{1}{5}\) ist \(\frac{5}{1} = 5\).
Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit \(5\) multiplizieren, bleibt die Gleichung
weiterhin richtig.
\[
\frac{1}{5}x = 4
\]
\[
5 \cdot \left(\frac{1}{5}x\right) = 5 \cdot 4
\]
2) Links vereinfachen
Links kürzt sich \(5 \cdot \frac{1}{5}\) zu \(1\), denn:
\[
5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{1}\cdot\frac{1}{5}=\frac{5\cdot 1}{1\cdot 5}=\frac{5}{5}=1
\]
Damit wird aus der linken Seite einfach \(1\cdot x = x\).
Also erhältst du:
\[
x = 5 \cdot 4
\]
3) Rechts ausrechnen
Jetzt musst du nur noch \(5 \cdot 4\) berechnen. Das Ergebnis ist der Wert von \(x\).
(Rechne diese letzte Multiplikation sauber aus.)
Tipps
- Merksatz: Steht vor \(x\) ein Bruch \(\frac{a}{b}\), dann multipliziere beide Seiten mit dem Kehrwert \(\frac{b}{a}\).
- Du kannst auch so denken: \(\frac{1}{5}x\) bedeutet „ein Fünftel von \(x\)“. Um von „ein Fünftel“ wieder zu „das Ganze“ zu kommen, nimmst du das Fünffache.
Kontrolle (ohne das Endergebnis auszuschreiben):
Setze deinen gefundenen Wert für \(x\) in \(\frac{1}{5}x\) ein und prüfe, ob wieder \(4\) herauskommt.