Aufgabe: Gleichungen mit Brüchen lösen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(\frac{3}{8}x – 2 = -5\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis)
1) Konstante Zahl loswerden
Ziel: Den Term \(-2\) auf der linken Seite entfernen, damit der Bruchterm mit \(x\) alleine steht.
Dazu addierst du auf beiden Seiten \(2\).
\[
\frac{3}{8}x – 2 + 2 = -5 + 2
\]
Links kürzt sich \(-2+2\) weg:
\[
\frac{3}{8}x = -5 + 2
\]
2) Rechte Seite zusammenfassen
Rechne nun die rechte Seite aus (ohne Taschenrechner, das geht im Kopf):
\[
-5 + 2 = -(5-2)
\]
Also erhältst du:
\[
\frac{3}{8}x = \text{(eine negative Zahl)}
\]
3) Bruch vor dem \(x\) entfernen
Um \(\frac{3}{8}x\) in \(x\) zu verwandeln, kannst du beide Seiten mit dem Kehrwert von \(\frac{3}{8}\) multiplizieren.
Der Kehrwert ist \(\frac{8}{3}\).
\[
\frac{8}{3}\cdot \frac{3}{8}x = \frac{8}{3}\cdot \text{(rechte Seite)}
\]
Links gilt:
\[
\frac{8}{3}\cdot \frac{3}{8} = 1
\]
Damit bleibt links nur noch:
\[
x = \frac{8}{3}\cdot \text{(rechte Seite)}
\]
Tipps
- Immer auf beiden Seiten dasselbe tun (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren).
- Bei \(\frac{a}{b}x\) hilft fast immer: mit dem Kehrwert \(\frac{b}{a}\) multiplizieren.
- Vorzeichen im Blick behalten: Eine negative Zahl plus eine positive Zahl wird „weniger negativ“.
Kontrolle (ohne alles auszurechnen)
Wenn du am Ende einen Wert für \(x\) hast, setze ihn in \(\frac{3}{8}x – 2\) ein.
Es muss wieder \(-5\) herauskommen.
Hinweis: Die angegebene korrekte Lösung ist \(-8\). Versuche, ob du beim Ausrechnen in Schritt 2 und 3 genau dort landest.