Thema: Ableitung mit \(\cos x\)
Lösung
Gegeben
\[
f(x)=(-3x^2+8x)\cdot \cos x
\]
Ziel
Bestimme \(f'(x)\) mithilfe der Produktregel und der Ableitungen von \(\cos x\).
Schritt 1: Produktregel erkennen
Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- \(u(x)=-3x^2+8x\)
- \(v(x)=\cos x\)
Für ein Produkt gilt:
\[
(u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘
\]
Schritt 2: Einzelne Ableitungen berechnen
2a) Ableitung von \(u(x)=-3x^2+8x\)
Leite termweise ab:
- \(\frac{d}{dx}(-3x^2) = -3\cdot 2x = -6x\)
- \(\frac{d}{dx}(8x) = 8\)
Also:
\[
u'(x) = -6x+8
\]
2b) Ableitung von \(v(x)=\cos x\)
Merksatz:
\[
(\cos x)‘ = -\sin x
\]
Also:
\[
v'(x) = -\sin x
\]
Schritt 3: Produktregel einsetzen
Setze alles in
\(\;f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\;\) ein:
\[
f'(x)=(-6x+8)\cdot \cos x + (-3x^2+8x)\cdot(-\sin x)
\]
Schritt 4: Vorzeichen sauber vereinfachen
Im zweiten Summanden steht „\(\cdot(-\sin x)\)“. Das macht aus dem Plus ein Minus (oder man schreibt es als „minus mal sin“):
\[
(-3x^2+8x)\cdot(-\sin x) = -\,(-3x^2+8x)\cdot \sin x
\]
Damit kann man schreiben:
\[
f'(x)=(-6x+8)\cdot \cos x – (-3x^2+8x)\cdot \sin x
\]
Tipps (ohne Taschenrechner)
- Produktregel-Merksatz: „Erste abgeleitet mal zweite plus erste mal zweite abgeleitet“.
- Vorzeichen prüfen: Weil \((\cos x)’=-\sin x\) ist, entsteht fast immer irgendwo ein Minus.
- Nicht ausmultiplizieren nötig: Oft ist die Produktform übersichtlicher und völlig korrekt.
Hinweis: Die oben hergeleitete Form stimmt mit der angegebenen korrekten Ableitung überein; die endgültige Schreibweise kannst du genau so übernehmen.