Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben: \( f(x) = \log_a(x^2) \) 1) Wichtige Umformung (Basiswechsel) Für Logarithmen zur Basis \(a\) ist es oft am einfachsten, zuerst die Basiswechsel-Formel zu benutzen: \[ \log_a(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(a)} \] Dabei ist \(u\) eine Funktion von \(x\). Hier gilt \(u(x)=x^2\). Also: \[ f(x) = \log_a(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{\ln(a)} \] 2) Konstante ausklammern
$$ f(x) = \log_a (x^2) $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben ist die Funktion: \[ f(x)=\sqrt{2x^2}. \] Schritt 1: Funktion umschreiben (als Potenz) Nutze \(\sqrt{u}=u^{\tfrac12}\). Dann gilt: \[ f(x) = (2x^2)^{\tfrac12}. \] Schritt 2: Kettenregel anwenden Setze die „innere Funktion“ \(u(x)=2x^2\) und die „äußere Funktion“ \(g(u)=u^{\tfrac12}\). Dann ist \[ f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). \] 2a) Äußere Ableitung Für \(g(u)=u^{\tfrac12}\) gilt mit der Potenzregel:
$$ f(x) = \sqrt{2x^2} $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung (Formelsammlung) – Kettenregel Lösung Gegeben ist die Funktion: \[ f(x)=\cos(10x^3) \] 1) Struktur erkennen (äußere und innere Funktion) Die Funktion ist eine Verkettung (Komposition). Man kann sie so lesen: Äußere Funktion: \(\cos(u)\) Innere Funktion: \(u(x)=10x^3\) 2) Kettenregel anwenden Die Kettenregel lautet: \[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\cdot u'(x) \] Übertragen auf diese Aufgabe ergibt das
$$ f(x) = \cos (10x^3) $$ Weiterlesen »
Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben \( f(x) = \sin(x) \) Gesucht Die Ableitung \( f'(x) \). Lösungsidee Bei Aufgaben zur Formelsammlung der Ableitungen nutzt man grundlegende Standardregeln. Eine der wichtigsten Grundableitungen lautet: \( \dfrac{d}{dx}\big(\sin(x)\big) = \cos(x) \) Schritte Erkenne, dass \( f(x) \) genau die Grundfunktion \( \sin(x) \) ist (keine Kettenregel nötig, weil innen nur
$$ f(x) = \sin (x) $$ Weiterlesen »
Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben \(f(x) = \cos(x)\) Ziel Die Ableitung \(f'(x)\) bestimmen. Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Passende Ableitungsregel auswählen Hier handelt es sich um eine Grundfunktion aus der trigonometrischen Formelsammlung. Für die Kosinusfunktion gilt die Standardregel: \(\dfrac{d}{dx}\big(\cos(x)\big) = -\sin(x)\) 2) Regel direkt anwenden Da \(f(x)\) genau \(\cos(x)\) ist (also kein zusätzlicher Faktor und keine innere Funktion wie
$$ f(x) = \cos (x) $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben \(f(x)=4\arccos(x)\) Ziel Bestimme \(f'(x)\). Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Konstante Faktorregel anwenden Hier steht eine Konstante \(4\) vor der Funktion \(\arccos(x)\). Dafür gilt die Regel: \[ \frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x) \] Also: \[ f'(x)=4\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\arccos(x)\bigr) \] 2) Ableitung von \(\arccos(x)\) aus der Formelsammlung Aus der Formelsammlung (bzw. den Standardableitungen) weiß man: \[ \frac{d}{dx}\bigl(\arccos(x)\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
$$ f(x) = 4\arccos x $$ Weiterlesen »
