Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das bestimmte Integral
\(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx\)
und eine Stammfunktion
\(\displaystyle F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\).
Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]
Hier ist \(f(x)=2x^3-6x\), \(a=1\), \(b=3\).
Schritt 2: Stammfunktion an der oberen Grenze auswerten
Setze \(x=3\) in \(F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\) ein:
\[
F(3)=\frac{1}{2}\cdot 3^4 – 3\cdot 3^2.
\]
Rechne die Potenzen aus:
\[
3^4 = 81,\qquad 3^2 = 9.
\]
Damit:
\[
F(3)=\frac{1}{2}\cdot 81 – 3\cdot 9.
\]
Schritt 3: Stammfunktion an der unteren Grenze auswerten
Setze \(x=1\) ein:
\[
F(1)=\frac{1}{2}\cdot 1^4 – 3\cdot 1^2.
\]
Da \(1^4=1\) und \(1^2=1\), folgt:
\[
F(1)=\frac{1}{2}\cdot 1 – 3\cdot 1.
\]
Schritt 4: Differenz bilden \(F(3)-F(1)\)
Jetzt setzt du alles in den Hauptsatz ein:
\[
\int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx = F(3)-F(1).
\]
Also:
\[
\int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx
=\left(\frac{1}{2}\cdot 81 – 3\cdot 9\right)
-\left(\frac{1}{2}\cdot 1 – 3\cdot 1\right).
\]
Schritt 5: Ohne Taschenrechner sauber vereinfachen (Tipp)
Ein guter Trick ist, die beiden Klammern getrennt zu vereinfachen und dabei Brüche ordentlich zu behandeln:
- In der ersten Klammer kannst du erst \(3\cdot 9\) ausrechnen und dann von \(\frac{81}{2}\) abziehen.
- In der zweiten Klammer ist \(\frac{1}{2}-3\) eine einfache Rechnung, wenn du \(3\) als \(\frac{6}{2}\) schreibst.
- Achte besonders auf das Minus vor der zweiten Klammer: Es ändert alle Vorzeichen in dieser Klammer.
Wenn du diese Vereinfachung zu Ende rechnest, erhältst du den Wert des bestimmten Integrals.
(Den Endwert sollst du hier selbst ausrechnen.)