Aufgabe: Bruchgleichungen Stufe 1
Lösung
Gegeben: \(\frac{33x}{6x^2} = 3 \quad (x \ne 0)\)
1) Definitionsmenge beachten
Im Nenner steht \(6x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein:
\(6x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Das passt zur Angabe \((x \ne 0)\).
2) Bruch vereinfachen
Schau dir \(\frac{33x}{6x^2}\) an: Im Zähler steht ein \(x\), im Nenner steht \(x^2\).
Du kannst ein \(x\) kürzen (weil \(x \ne 0\) gilt).
\[
\frac{33x}{6x^2}
= \frac{33}{6x}.
\]
3) Gleichung ohne Bruch lösen
Jetzt lautet die Gleichung:
\[
\frac{33}{6x} = 3.
\]
Multipliziere beide Seiten mit \(6x\), um den Nenner zu entfernen:
\[
\frac{33}{6x}\cdot 6x = 3 \cdot 6x.
\]
Links kürzt sich \(6x\) weg:
\[
33 = 3 \cdot 6x.
\]
(Das ist genau der Umformungsschritt, der als „richtige Antwort“ angegeben ist.)
4) Weiter vereinfachen (ohne Endergebnis auszurechnen)
Rechts kannst du zuerst \(3 \cdot 6\) zusammenfassen:
\[
33 = 18x.
\]
Um \(x\) zu isolieren, würdest du als nächsten Schritt beide Seiten durch \(18\) teilen:
\[
\frac{33}{18} = x.
\]
Danach kann man den Bruch \(\frac{33}{18}\) noch kürzen (Tipp: Beide Zahlen sind durch \(3\) teilbar).
Tipps
- Kürze zuerst gemeinsame Faktoren (hier das \(x\)), das macht die Rechnung deutlich einfacher.
- Vergiss nie die Einschränkung \(x \ne 0\), wenn du durch \(x\) kürzt oder mit \(x\) multiplizierst.
- Beim Kürzen von Brüchen: Suche einen gemeinsamen Teiler (z.B. \(3\)) und teile Zähler und Nenner dadurch.