Thema: Quotientenregel der Logarithmen
Lösung
Aufgabe: Vereinfache \( \log_3\!\left(m \div n\right) \).
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
Zuerst schreiben wir die Division als Bruch:
\[
m \div n = \frac{m}{n}.
\]
Damit wird der Ausdruck:
\[
\log_3\!\left(\frac{m}{n}\right).
\]
Jetzt benutzen wir die Quotientenregel (auch Logarithmengesetz genannt):
\[
\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) – \log_a(y).
\]
Dabei gilt als Voraussetzung: \(a>0\), \(a\neq 1\) und \(x>0\), \(y>0\).
Hier ist \(a=3\), \(x=m\) und \(y=n\). Also darfst du direkt einsetzen:
\[
\log_3\!\left(\frac{m}{n}\right)
= \log_3(m) – \log_3(n).
\]
Tipps
- Merksatz: „Im Logarithmus wird aus Division eine Subtraktion.“
- Achte immer auf die Definitionsbedingungen: Für \(\log_3(m)\) und \(\log_3(n)\) müssen \(m>0\) und \(n>0\) gelten.
- Schreibe \(m \div n\) ruhig immer zuerst als \(\frac{m}{n}\); dann erkennt man das passende Gesetz schneller.
Kontrolliere zum Schluss, ob du genau die Form „Logarithmus von \(m\) minus Logarithmus von \(n\)“ erhalten hast, ohne die Basis \(3\) zu verändern.