Bruchgleichungen Stufe 1
Lösung
Aufgabe: \(\frac{27x}{8x^2} = 3 \quad (x \ne 0)\)
1) Definitionsmenge / Einschränkung
Im Nenner steht \(8x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein:
\(8x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Das passt zur Angabe \((x \ne 0)\).
2) Bruch vereinfachen
Schreibe den Bruch so, dass du kürzen kannst:
\[
\frac{27x}{8x^2} = \frac{27}{8}\cdot \frac{x}{x^2}.
\]
Da \(x \ne 0\), darfst du \(x\) kürzen:
\[
\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}.
\]
Also wird die Gleichung zu:
\[
\frac{27}{8x} = 3.
\]
3) Bruchgleichung lösen (Nenner beseitigen)
Um den Nenner \(8x\) loszuwerden, multiplizierst du beide Seiten mit \(8x\)
(das ist erlaubt, weil \(x \ne 0\)):
\[
\frac{27}{8x}\cdot 8x = 3 \cdot 8x.
\]
Links kürzt sich \(8x\) vollständig weg:
\[
27 = 3 \cdot 8x.
\]
Genau das ist auch die angegebene richtige Umformung: \(27 = 3 \times 8x\).
4) Tipp zum Weiterrechnen (ohne das Endergebnis auszurechnen)
Als nächstes würdest du rechts zuerst \(3 \cdot 8\) zusammenfassen und dann durch diese Zahl teilen,
um \(x\) alleine zu bekommen. Achte dabei weiterhin darauf, dass \(x \ne 0\) gilt.
Merktipp: Bei Bruchgleichungen ist es oft am einfachsten, zuerst zu kürzen (wenn möglich) und dann den Nenner durch Multiplizieren auf beiden Seiten zu beseitigen.