Lösung
Thema: Ableitung von Funktionen mit sin(x)
Gegeben: \( f(x) = x^{2}\cdot \sin x \)
1) Passende Regel erkennen
Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- \(u(x)=x^2\)
- \(v(x)=\sin x\)
Für die Ableitung eines Produkts benutzt man die Produktregel:
\[
(u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘
\]
2) Einzelableitungen bestimmen
Jetzt leiten wir beide Teile getrennt ab:
-
\[
u(x)=x^2 \quad \Rightarrow \quad u'(x)=2x
\]
(Potenzregel: \((x^n)‘ = n x^{n-1}\)) -
\[
v(x)=\sin x \quad \Rightarrow \quad v'(x)=\cos x
\]
(Grundableitung)
3) Produktregel einsetzen
Setze \(u, u‘, v, v’\) in die Produktregel ein:
\[
f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)
\]
\[
f'(x) = (2x)\cdot (\sin x) + (x^2)\cdot (\cos x)
\]
4) Ergebnisform (nicht weiter ausrechnen)
Du kannst die Ableitung genau in dieser Form stehen lassen. (Man könnte höchstens noch \(x\) ausklammern, aber das ist nicht nötig.)
Tipps
- Erst prüfen: Summe/Differenz oder Produkt? Hier klar: Produkt \(\Rightarrow\) Produktregel.
- Schreibe dir immer \(u\) und \(v\) hin, dann vermeidest du Vertauschen.
- Merke: \((\sin x)’=\cos x\), \((\cos x)’=-\sin x\).
Hinweis: Die von dir angegebene Ableitung hat genau die richtige Struktur nach der Produktregel.