Thema: Sin(x) ableiten
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
\(y = 9 \cdot \sin(3x)\).
Gesucht ist \(y’\).
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
1) Äußere und innere Funktion erkennen
Die Funktion hat die Form „Konstante × Sinus von etwas“:
- Äußere Funktion: \(\sin(\,\square\,)\)
- Innere Funktion: \(u(x) = 3x\)
- Konstanter Faktor: \(9\)
2) Wichtige Ableitungsregeln notieren
- Faktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)\)
- Ableitung von Sinus: \(\frac{d}{dx}\big(\sin(u)\big) = \cos(u)\cdot u’\) (Kettenregel)
3) Zuerst die innere Funktion ableiten
\(u(x) = 3x\)
Dann ist
\(u'(x) = \frac{d}{dx}(3x)\).
Hier nutzt du: \(\frac{d}{dx}(a x) = a\).
4) Kettenregel auf \(\sin(3x)\) anwenden
\(\frac{d}{dx}\big(\sin(3x)\big) = \cos(3x)\cdot u'(x)\).
Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 für \(u'(x)\) ein.
5) Faktorregel für den Vorfaktor 9 anwenden
\(y = 9\cdot \sin(3x)\) bedeutet:
\(y‘ = 9 \cdot \frac{d}{dx}\big(\sin(3x)\big)\).
Setze hier das Ergebnis aus Schritt 4 ein und fasse die konstanten Faktoren zusammen.
Tipps
- Markiere dir bei \(\sin(3x)\) immer zuerst das „Innenleben“ (\(3x\)). Dann vergisst du den Kettenregel-Faktor nicht.
- Konstante Faktoren (wie \(9\) und der Faktor aus \(u'(x)\)) kannst du am Ende einfach miteinander multiplizieren.
- Kontrollfrage: Bei \(\sin(\text{etwas})\) muss in der Ableitung immer \(\cos(\text{dasselbe etwas})\) auftauchen.
Hinweis zur gegebenen Lösung
Dein angegebenes Ergebnis \(y‘ = 27 \cdot \cos(3x)\) passt genau zu den Schritten oben (Faktorregel + Kettenregel).