y = 2 (5x)

Lösung

Thema: Ableitung von sin und Kettenregel

Aufgabe

Gegeben ist: y = 2 × sin(5x). Bestimme y‘.

Schritt-für-Schritt-Lösung

1) Funktion erkennen (Produkt aus Zahl und Sinus)

Die Funktion besteht aus einem konstanten Faktor 2 und einem Sinus:

y = 2 · sin(5x).

Wichtig: Der Faktor 2 bleibt beim Ableiten als Faktor erhalten (Faktorregel).

2) Äußere und innere Funktion bestimmen (für die Kettenregel)

Wir betrachten sin(5x) als verkettete Funktion:

• Äußere Funktion: f(u) = sin(u)
• Innere Funktion: u(x) = 5x

3) Ableitungsregeln anwenden

a) Ableitung der äußeren Funktion

Es gilt die Grundregel:

(sin(u))‘ = cos(u) · u‘.

b) Ableitung der inneren Funktion

u(x) = 5x ist eine lineare Funktion, daher:

u'(x) = 5.

4) Alles zusammensetzen (inkl. Faktor 2)

Zuerst ohne den Faktor 2:

(sin(5x))‘ = cos(5x) · 5.

Jetzt den Faktor 2 mitnehmen:

y‘ = 2 &middot (cos(5x) · 5).

Zum Schluss die konstanten Faktoren zusammenfassen:

y‘ = (2 · 5) · cos(5x).

Tipps

• Schreibe bei sin(5x) immer kurz: „innen = 5x“, dann vergisst du das zusätzliche ·5 aus der Kettenregel nicht.
• Konstante Faktoren (wie die 2) kannst du beim Ableiten einfach vorne stehen lassen.

Hinweis: Dein angegebenes Ergebnis passt zur Rechnung. Den letzten Schritt (das endgültige Zusammenfassen) kannst du nun selbst sauber hinschreiben.