Lösung
Thema: Ableitung von sin und Kettenregel
Aufgabe
Gegeben ist: y = 2 × sin(5x). Bestimme y‘.
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Funktion erkennen (Produkt aus Zahl und Sinus)
Die Funktion besteht aus einem konstanten Faktor 2 und einem Sinus:
y = 2 · sin(5x).
Wichtig: Der Faktor 2 bleibt beim Ableiten als Faktor erhalten (Faktorregel).
2) Äußere und innere Funktion bestimmen (für die Kettenregel)
Wir betrachten sin(5x) als verkettete Funktion:
- Äußere Funktion: f(u) = sin(u)
- Innere Funktion: u(x) = 5x
3) Ableitungsregeln anwenden
a) Ableitung der äußeren Funktion
Es gilt die Grundregel:
(sin(u))‘ = cos(u) · u‘.
b) Ableitung der inneren Funktion
u(x) = 5x ist eine lineare Funktion, daher:
u'(x) = 5.
4) Alles zusammensetzen (inkl. Faktor 2)
Zuerst ohne den Faktor 2:
(sin(5x))‘ = cos(5x) · 5.
Jetzt den Faktor 2 mitnehmen:
y‘ = 2 · (cos(5x) · 5).
Zum Schluss die konstanten Faktoren zusammenfassen:
y‘ = (2 · 5) · cos(5x).
Tipps
- Schreibe bei sin(5x) immer kurz: „innen = 5x“, dann vergisst du das zusätzliche ·5 aus der Kettenregel nicht.
- Konstante Faktoren (wie die 2) kannst du beim Ableiten einfach vorne stehen lassen.
Hinweis: Dein angegebenes Ergebnis passt zur Rechnung. Den letzten Schritt (das endgültige Zusammenfassen) kannst du nun selbst sauber hinschreiben.