Thema: Sinus ableiten (Kettenregel)
Lösung
Gegeben
\( y = 35 \cdot \sin\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \)
(Kontroll-Ergebnis: \( y‘ = 21 \cdot \cos\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \))
Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen
Die Funktion hat die Form „Konstante · sin( … )“.
Wichtig ist, dass im Sinus nicht einfach \(x\) steht, sondern \( \tfrac{3}{5}x \).
Das bedeutet: Wir brauchen die Kettenregel.
- Äußere Funktion: \( \sin(u) \)
- Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{3}{5}x \)
- Zusätzlicher Faktor außen: \(35\)
Schritt 2: Ableitungsregeln aufschreiben
- \(\dfrac{d}{dx}\big(\sin(u)\big) = \cos(u)\cdot u’\)
- \(\dfrac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big) = a\cdot f'(x)\) (Konstantenfaktorregel)
Schritt 3: Innere Ableitung berechnen
\(u(x) = \tfrac{3}{5}x\)
Da \(\tfrac{3}{5}\) eine Konstante ist, gilt:
\(u'(x) = \tfrac{3}{5}\)
Schritt 4: Kettenregel anwenden und Konstantenfaktor mitnehmen
Ausgangsfunktion:
\( y = 35\cdot \sin(u(x)) \)
Ableiten:
\( y‘ = 35 \cdot \cos(u(x)) \cdot u'(x) \)
Jetzt \(u(x)=\tfrac{3}{5}x\) und \(u'(x)=\tfrac{3}{5}\) einsetzen:
\( y‘ = 35 \cdot \cos\!\left(\tfrac{3}{5}x\right)\cdot \tfrac{3}{5} \)
Schritt 5: Faktoren vereinfachen (ohne Endergebnis auszuschreiben)
Multipliziere nur die Zahlen vor dem Cosinus:
\(35 \cdot \tfrac{3}{5} = \left(\tfrac{35}{5}\right)\cdot 3\)
Teile zuerst \(35\) durch \(5\) (das geht glatt), und multipliziere dann mit \(3\).
Den so entstehenden Faktor schreibst du vor den Cosinus-Term:
\( y‘ = \big(\text{vereinfachter Zahlenfaktor}\big)\cdot \cos\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \)
Tipps
-
Immer prüfen: Steht im Sinus genau \(x\) oder etwas wie \(ax+b\)?
Bei \(ax+b\) brauchst du fast immer die Kettenregel. - Schreibe dir kurz \(u=\tfrac{3}{5}x\) hin. Das verhindert typische Fehler.
- Vereinfache Zahlenfaktoren am besten so: erst kürzen/teilen, dann multiplizieren.
Wenn du möchtest, kann ich dir auch zeigen, wie man das Ergebnis mit der angegebenen Kontrolle
\(21\cdot \cos\!\left(\tfrac{3}{5}x\right)\) abgleicht, ohne es „einfach nur abzuschreiben“.