12² = ____

Lösung

Thema: Kopfrechnen mit binomischen Formeln

Aufgabe: \(12^2 = \_\_\_\_\).

Hier passt die 1. binomische Formel:

\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Schritt 1: Zahl geschickt zerlegen

Schreibe \(12\) als \(10 + 2\). Das ist praktisch, weil \(10^2\) sehr leicht ist.

\[
12^2 = (10+2)^2
\]

Schritt 2: Binomische Formel anwenden

\[
(10+2)^2 = 10^2 + 2\cdot 10 \cdot 2 + 2^2
\]

Genau das ist auch als „richtiger Ansatz“ angegeben.

Schritt 3: Jeden Term einzeln ausrechnen (ohne Taschenrechner)

• \(\;10^2\): Das ist \(10 \cdot 10\). Ergebnis: 100.
• \(\;2\cdot 10 \cdot 2\): Rechne in einfacher Reihenfolge:
  
  Erst \(2\cdot 10 = 20\), dann \(20\cdot 2 = 40\). Ergebnis: 40.
• \(\;2^2\): Das ist \(2\cdot 2\). Ergebnis: 4.

Schritt 4: Alles zusammenfassen

Jetzt addierst du die drei Ergebnisse:

\[
10^2 + 2\cdot 10 \cdot 2 + 2^2
= 100 + 40 + 4
\]

Addiere zuerst \(100 + 40\) und dann noch \(+4\).

So erhältst du die Zahl, die in die Lücke gehört.

Tipp fürs Kopfrechnen

Quadrate von Zahlen nahe bei 10, 20, 30, … gehen oft schnell, wenn du sie als
„Zehnerzahl + kleiner Rest“ schreibst und dann die binomische Formel nutzt.

Hinweis: Trage am Ende das Ergebnis von \(100 + 40 + 4\) in die Lücke ein.