y = 32 (1.2x)

Lösung

Thema: Ableitung von sin(x)

Gegeben:

\(y = 32 \cdot \sin(1{,}2x)\)

Ziel: \(y’\) mit allen Rechenschritten bestimmen.

1) Wichtige Ableitungsregeln

• Konstantenfaktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)\)
• Ableitung von Sinus: \(\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u)\cdot u’\)   (das ist die Kettenregel)

2) Funktion in „außen“ und „innen“ zerlegen (Kettenregel)

Wir erkennen:

• Äußere Funktion: \(\sin(\,\square\,)\)
• Innere Funktion: \(u(x) = 1{,}2x\)

3) Schrittweise ableiten

Schritt A: Konstantenfaktor ausklammern

\(y = 32 \cdot \sin(1{,}2x)\)

\(\Rightarrow y‘ = 32 \cdot \frac{d}{dx}\big(\sin(1{,}2x)\big)\)

Schritt B: Sinus ableiten (Kettenregel)

\(\frac{d}{dx}\big(\sin(1{,}2x)\big) = \cos(1{,}2x)\cdot \frac{d}{dx}(1{,}2x)\)

Schritt C: Innere Ableitung berechnen

\(u(x)=1{,}2x \Rightarrow u'(x)=1{,}2\)

Schritt D: Alles zusammensetzen

\(y‘ = 32 \cdot \big(\cos(1{,}2x)\cdot 1{,}2\big)\)

Schritt E: Faktoren zusammenfassen

Multipliziere nur die Zahlen vorne:

\(32 \cdot 1{,}2 = 32 \cdot \frac{12}{10} = \frac{32\cdot 12}{10} = \frac{384}{10}\)

(hier kannst du auch noch kürzen bzw. als Dezimalzahl schreiben)

Damit ist:

\(y‘ = \left(32\cdot 1{,}2\right)\cdot \cos(1{,}2x)\)

4) Tipp zum schnellen Prüfen

Merksatz: Bei \(\sin(ax)\) kommt beim Ableiten immer ein Faktor \(a\) vorne dazu:

\(\frac{d}{dx}\big(\sin(ax)\big)=a\cos(ax)\).

Hier ist \(a=1{,}2\) und zusätzlich steht noch der Faktor \(32\) davor.

Hinweis: Du hast als Ergebnis \(38{,}4\cdot \cos(1{,}2x)\) angegeben.
Ob das passt, kannst du genau mit dem Schritt „\(32\cdot 1{,}2\)“ überprüfen (ohne dass ich dir das Endergebnis ausrechne).