Zahlen vergleichen: −1,2, 5/6, 0,75

Lösung

Gegeben sind die Zahlen \(-1{,}2\), \(\frac{5}{6}\), \(0{,}75\), \(-\frac{3}{4}\), \(1\frac{1}{4}\), \(0{,}7\), \(\frac{4}{5}\).

Schritt 1: nach Vorzeichen trennen

Negativ: \(-1{,}2\), \(-\frac{3}{4}\). Positiv: \(0{,}7\), \(0{,}75\), \(\frac{4}{5}\), \(\frac{5}{6}\), \(1\frac{1}{4}\). Jede negative Zahl ist kleiner als 0 und damit kleiner als jede positive Zahl der Liste.

Unter den negativen Zahlen ist die mit dem größeren Betrag die kleinere (weiter links auf der Zahlengeraden).

Schritt 2: jede Zahl ohne Taschenrechner vergleichbar machen

• \(-1{,}2\) ist schon als Dezimalzahl gegeben.
• 5 : 6 = 0 Rest 5. 50 : 6 = 8 Rest 2; 20 : 6 = 3 Rest 2 — die Ziffern 3 wiederholen sich. Also \(0{,}8\overline{3}\).
• \(0{,}75\) ist schon als Dezimalzahl gegeben.
• \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) (drei Viertel). Mit Vorzeichen: \(-0{,}75\).
• Zuerst als unechter Bruch: \(1\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{4}\). 5 : 4 = 1 Rest 1. 10 : 4 = 2 Rest 2; 20 : 4 = 5 Rest 0. Also \(1{,}25\).
• \(0{,}7\) ist schon als Dezimalzahl gegeben.
• \(\frac{4}{5} = 0{,}8\).

Schritt 3: benachbarte Zahlen einzeln vergleichen (vom Kleinsten zum Größten (Zeichen \(<\)))

Beide negativ: je größer der Betrag, desto kleiner die Zahl. Betrag von \(-1{,}2\) ist \(\frac{6}{5}\) (\(1{,}2\)), Betrag von \(-\frac{3}{4}\) ist \(\frac{3}{4}\) (\(0{,}75\)). \(1{,}2\) > \(0{,}75\), daher \(-1{,}2\) \(-1{,}2\).

\(0{,}7\) ist positiv, \(-\frac{3}{4}\) ist negativ. Jede positive Zahl ist größer als jede negative: \(0{,}7\) > \(-\frac{3}{4}\).

Als Dezimalzahlen: \(0{,}75\) = \(0{,}75\) und \(0{,}7\) = \(0{,}7\). Ziffernweise von links: \(0{,}75\) ist größer als \(0{,}7\), also \(0{,}75\) > \(0{,}7\).

Als Dezimalzahlen: \(\frac{4}{5}\) = \(0{,}8\) und \(0{,}75\) = \(0{,}75\). Ziffernweise von links: \(0{,}8\) ist größer als \(0{,}75\), also \(\frac{4}{5}\) > \(0{,}75\).

Zwei positive Brüche per Kreuzprodukt: \(4 \cdot 6\) = \(24\) und \(5 \cdot 5\) = \(25\). Weil 24 < 25, gilt \(\frac{4}{5}\) < \(\frac{5}{6}\).

Als Dezimalzahlen: \(1\frac{1}{4}\) = \(1{,}25\) und \(\frac{5}{6}\) = \(0{,}8\overline{3}\). Ziffernweise von links: \(1{,}25\) ist größer als \(0{,}8\overline{3}\), also \(1\frac{1}{4}\) > \(\frac{5}{6}\).

Zusammen: \[ -1{,}2 < -\frac{3}{4} < 0{,}7 < 0{,}75 < \frac{4}{5} < \frac{5}{6} < 1\frac{1}{4} \]

Ergebnis: \( -1{,}2 < -\frac{3}{4} < 0{,}7 < 0{,}75 < \frac{4}{5} < \frac{5}{6} < 1\frac{1}{4} \).

Tipp für ähnliche Aufgaben

• Die engste Stelle in dieser Liste ist \(\frac{4}{5}\) gegen \(\frac{5}{6}\): beide vergleichbar machen (\(0{,}8\) und \(0{,}8\overline{3}\)) und dann ziffernweise von links lesen.
• Negative nicht nach dem Betrag in dieselbe Richtung sortieren: \(-1{,}2\) ist kleiner als \(-\frac{3}{4}\), obwohl der Betrag von \(-1{,}2\) größer ist.
• Brüche wie \(\frac{5}{6}\) schriftlich dividieren (Rest notieren, nicht raten) — hier \(0{,}8\overline{3}\) — statt sie nur „ungefähr“ neben eine Dezimalzahl zu legen.