Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln Lösung Wir haben den Bruch: \(\frac{20}{6 + \sqrt{2}}\). Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren, d.h., den Wurzelterm aus dem Nenner zu entfernen. Schritte zur Lösung: Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Term des Nenners. Der konjugierte Term von \(6 + \sqrt{2}\) ist \(6 – \sqrt{2}\). Somit multiplizieren
$$ \frac{20}{6 + \sqrt{2}} $$ Weiterlesen »
Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln Lösung Gegeben ist der Ausdruck: \(\frac{15}{8 – \sqrt{5}}\). Wir möchten den Nenner rationalisieren, das bedeutet, wir wollen die Wurzel im Nenner beseitigen. Dazu nutzen wir die binomische Formel: \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\). Schritte zur Lösung: Identifiziere den Nenner als \(8 – \sqrt{5}\). Multipliziere Zähler und
$$ \frac{15}{8 – \sqrt{5}} $$ Weiterlesen »
Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln Lösung Gegeben ist der Bruch: \(\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}\). Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren, d.h. den Nenner ohne Wurzeln zu schreiben. Schritte zur Lösung: Um den Nenner zu rationalisieren, multiplizieren wir den Bruch mit dem konjugierten Nenner. Der konjugierte Nenner von \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\) ist \(\sqrt{7} – \sqrt{5}\).
$$ \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} $$ Weiterlesen »
Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln Lösung Gegeben ist der Ausdruck: \(\frac{23}{6 + \sqrt{7}}\). Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren. Das bedeutet, wir möchten den Nenner in eine Form bringen, die keine Wurzeln mehr enthält. Schritte zur Rationalisierung Um den Nenner zu rationalisieren, multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem
$$ \frac{23}{6 + \sqrt{7}} $$ Weiterlesen »
Wurzelterme rational machen Lösung Gegeben ist der Ausdruck: \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren. Dazu multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit \(\sqrt{5}\). Der Grund dafür ist, dass \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\), was den Nenner rational macht. Schritte zur Lösung: Multipliziere den Zähler und den Nenner
$$ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Wurzelberechnung Lösung Gegeben: \(-\sqrt{8^2}\) Schritt 1: Klammerung und Reihenfolge beachten Wichtig ist hier: Das Minuszeichen steht vor der Wurzel. Das bedeutet, wir berechnen zuerst den Wurzelausdruck \(\sqrt{8^2}\) und setzen danach das Minus davor. Schritt 2: Zuerst das Quadrat ausrechnen Im Inneren der Wurzel steht \(8^2\). Das heißt: \(8^2 = 8 \cdot 8\) Multipliziere nun
$$ -\sqrt{8^2} $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung \(\sqrt{-17^2}\) Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben) 1) Punkt-vor-Strich / Potenzen vor Vorzeichen beachten Ein häufiger Fehler ist, das Minuszeichen „mit zu quadrieren“. Wichtig ist: Bei \(-17^2\) gehört das Quadrat nur zur Zahl \(17\), nicht zum Minus davor. Das heißt: \[ -17^2 = -(17^2) \] 2) Den Ausdruck unter der Wurzel untersuchen Setze das in
$$ \sqrt{-17^2} $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Wurzeln rationalisieren (Nenner ohne Wurzel) Lösung Gegeben: \(\frac{4}{3+\sqrt{2}}\) Ziel ist, die Wurzel im Nenner zu entfernen. Das macht man, indem man mit dem Konjugierten des Nenners multipliziert. Zum Ausdruck \(3+\sqrt{2}\) gehört als Konjugiertes \(3-\sqrt{2}\). Schritt 1: Mit dem Konjugierten erweitern \[ \frac{4}{3+\sqrt{2}} \;=\; \frac{4}{3+\sqrt{2}} \cdot \frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \] Wichtig: Wir multiplizieren mit \(\frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = 1\),
$$ \frac{4}{3 + \sqrt{2}} $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Bringe die Gleichung in die Form y = kx + b: \(5x – 2(3y + 4) = 0\) Lösung mit allen Schritten (ohne Endergebnis auszuschreiben) 1) Klammer ausmultiplizieren In der Klammer steht \(3y + 4\). Diese Klammer wird mit \(-2\) multipliziert: \(-2 \cdot 3y = -6y\) \(-2 \cdot 4 = -8\) Damit wird
5x – 2(3y + 4) = 0 Weiterlesen »
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Lösung Aufgabe: Bringe die Gleichung x + 4y = 8 in die Form y = kx + b. Schritt-für-Schritt-Lösung Ziel ist es, y freizustellen, also die Gleichung so umzuformen, dass links nur y steht. 1) x-Term „wegschaffen“ Ausgangsgleichung: x + 4y = 8 Damit links nur noch etwas mit y
