Bruchgleichungen Stufe 1 Lösung Aufgabe: \(\frac{27x}{8x^2} = 3 \quad (x \ne 0)\) 1) Definitionsmenge / Einschränkung Im Nenner steht \(8x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein: \(8x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\). Das passt zur Angabe \((x \ne 0)\). 2) Bruch vereinfachen Schreibe den Bruch
$$ \frac{27x}{8x^2} = 3 \quad (x \ne 0) $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bruchgleichungen Stufe 1 Lösung Gegeben: \(\frac{33x}{6x^2} = 3 \quad (x \ne 0)\) 1) Definitionsmenge beachten Im Nenner steht \(6x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein: \(6x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\). Das passt zur Angabe \((x \ne 0)\). 2) Bruch vereinfachen Schau dir \(\frac{33x}{6x^2}\)
$$ \frac{33x}{6x^2} = 3 \quad (x \ne 0) $$ Weiterlesen »
Thema: Quotientenregel der Logarithmen Lösung Aufgabe: Vereinfache \( \log_3\!\left(m \div n\right) \). Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben) Zuerst schreiben wir die Division als Bruch: \[ m \div n = \frac{m}{n}. \] Damit wird der Ausdruck: \[ \log_3\!\left(\frac{m}{n}\right). \] Jetzt benutzen wir die Quotientenregel (auch Logarithmengesetz genannt): \[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) – \log_a(y). \] Dabei gilt als
$$ \log_3 (m \div n) $$ Weiterlesen »
Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Aufgabe \(9^x = 81\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Idee: Logarithmus als „Umkehrung“ der Potenz Ein Logarithmus beantwortet genau die Frage: „Zu welcher Potenz muss ich die Basis erheben, um den gegebenen Wert zu erhalten?“ Allgemein gilt: \[ a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b) \] 2) Auf die Aufgabe
Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Gegeben: \(25^x = 625\) Idee: Um \(x\) zu finden, kann man die Gleichung in eine Logarithmus-Schreibweise umformen oder beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben. 1) Umformung in Logarithmus-Schreibweise Die Grundregel lautet: \[ a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b) \] Hier ist \(a=25\) und \(b=625\). Also
$$ 25^x = 625 $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Gegeben ist die Gleichung: \(2^x = 1024\). Idee Wenn die Unbekannte \(x\) im Exponenten steht, kann man sie mit einem Logarithmus „herunterholen“. Genau dafür ist der Logarithmus zur Basis 2 geeignet: \(\log_2(2^x) = x\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Logarithmus zur Basis 2 auf обе Seiten anwenden Wende \(\log_2(\,\cdot\,)\) auf beide Seiten der Gleichung an: \(\log_2(2^x)
$$ 2^x = 1024 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Gegeben: \(36^x = 1296\) Gesucht: \(x\) (und zwar \(x = \log_{36}(1296)\)) Schritt 1: Idee verstehen (Logarithmus als Umkehrung der Potenz) Die Gleichung \(36^x = 1296\) bedeutet: „Welche Zahl \(x\) muss ich als Exponent nehmen, damit aus \(36\) die Zahl \(1296\) wird?“ Genau das beschreibt der Logarithmus: \[ x =
$$ 36^x = 1296 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Gegeben: \(40^x = 1600\) Gesucht: \(x\) Schritt 1: Logarithmus-Form aufschreiben Eine Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) kann man als Logarithmus schreiben: \(x = \log_a(b)\) Hier ist \(a=40\) und \(b=1600\). Also: \(x = \log_{40}(1600)\) (Das ist genau die angegebene korrekte Umformung.) Schritt 2: Ohne Taschenrechner vereinfachen (durch Potenzen/Teiler) Statt den Logarithmus
$$ 40^x = 1600 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Gegeben: \(7^x = 49\) Schritt 1: Bedeutung des Logarithmus nutzen Die Gleichung \(7^x = 49\) fragt: „Mit welchem Exponenten muss ich 7 potenzieren, damit 49 herauskommt?“ Genau dafür ist der Logarithmus da. Allgemein gilt: \[ a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b) \] Hier ist \(a=7\) und
Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Aufgabe: \(3^x = 81\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Idee: Logarithmus als „Umkehrung“ der Potenz Ein Logarithmus beantwortet genau die Frage: „Welche Zahl \(x\) muss ich als Exponent nehmen, damit aus der Basis 3 die Zahl 81 wird?“ Das schreibt man als: \[ x = \log_3(81) \] (Das ist genau die Angabe aus
