Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Aufgabe: \(3^x = 243\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Bedeutung der Gleichung verstehen Die Gleichung \(3^x = 243\) fragt: Mit welcher Potenz muss man die 3 potenzieren, damit 243 herauskommt? Genau dafür ist der Logarithmus da: Allgemein gilt die Umformungsregel: \[ a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b) \] Hier
Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Aufgabe \(2^x = 8\) Idee Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, kann man sie mit einem Logarithmus „herunterholen“. Allgemein gilt: \[ a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b) \] Hier ist \(a=2\) und \(b=8\). Also: \[ x = \log_2(8) \] Ohne Logarithmus weiterrechnen (oft am einfachsten) Weil
Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Lösung Aufgabe: \(32^x = 1024\) Gegeben (richtiger Ansatz): \(x = \log_{32}(1024)\) Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne das Endergebnis auszurechnen) 1) Idee: Gleiche Basis finden Bei solchen Aufgaben ist es oft am einfachsten, beide Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl zu schreiben. Hier bietet sich die Zahl \(2\) an, weil sowohl \(32\) als auch \(1024\)
$$ 32^x = 1024 $$ Weiterlesen »
Theme: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Gegeben: f(x)=\(\frac{1}{2}\sqrt{x}\) Ziel: Eine Stammfunktion F(x) finden, sodass F'(x)=f(x). Schritt 1: Funktion in Potenzschreibweise umformen Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzen schreiben: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Damit wird \(f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\). Schritt 2: Potenzregel für Stammfunktionen anwenden Merke (Potenzregel): Für \(x^n\) (mit \(n\neq -1\)) gilt als Stammfunktion: \(x^n \;\rightarrow\; \frac{x^{n+1}}{n+1}\) Der Faktor
$$ f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Betragsfunktion aus dem Koordinatensystem Lösung Gegeben ist die Funktion \( y=\tfrac12|x-2|+1 \). Du sollst ihren Graphen ins Koordinatensystem einzeichnen. 1) Grundidee: Betragsfunktion erkennen Eine Funktion der Form \( y=a|x-h|+k \) ist ein V-förmiger Graph. \(h\) verschiebt den Graphen nach rechts/links, \(k\) verschiebt nach oben/unten, \(a\) macht das „V“ steiler oder flacher (und bei negativem
$$ \text{Zeichne den Graphen in das Koordinatensystem: } y = \tfrac{1}{2}|x-2| + 1 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Einheiten umrechnen (g → kg) Lösung Gesucht ist, wie viele Kilogramm 4800 Gramm sind. Schritt 1: Zusammenhang zwischen Gramm und Kilogramm Merksatz: 1000 g = 1 kg. Schritt 2: Von Gramm zu Kilogramm umrechnen Um von Gramm in Kilogramm umzurechnen, teilt man durch 1000: 4800 g ÷ 1000 Schritt 3: Division ohne Taschenrechner (Komma verschieben) Durch 1000 teilen
$$ \text{Kreuzen Sie an, wie viele Kilogramm }4800\,\text{Gramm sind.} $$ Weiterlesen »
Thema: Indirekt proportionale Zuordnungen Lösung Gegeben: Wert (€) Anzahl 1,20 45 3,00 x Hinweis: Die (angegebene) richtige Lösung ist: 18 (wir rechnen aber nur den Weg aus und lassen das Ergebnis am Ende offen). 1) Was bedeutet „indirekt proportional“? Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung gilt: Wenn der Wert größer wird, wird die Anzahl kleiner (und
Wert(€) | Anzahl 1,20 | 45 3,00 | x Weiterlesen »
Indirekt proportionale Zuordnungen Lösung Gegeben ist eine Tabelle: Anzahl Länge (km) 8 72 6 x 1) Was bedeutet „indirekt proportional“? Bei einer indirekt proportionalen (auch: umgekehrt proportionalen) Zuordnung gilt: Wenn die eine Größe kleiner wird, wird die andere größer – und umgekehrt. Mathematisch heißt das: Anzahl · Länge = konstant 2) Konstante mit dem bekannten
Anzahl | Länge(km) 8 | 72 6 | x Weiterlesen »
Indirekt proportionale Zuordnungen Lösung Gegeben ist die Tabelle: Anzahl Länge (km) 4 49 7 x 1) Was bedeutet „indirekt proportional“? Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung gilt: Wenn die eine Größe größer wird, wird die andere kleiner – und zwar so, dass das Produkt aus beiden Größen konstant bleibt. Also gilt hier: Anzahl · Länge =
Anzahl | Länge(km) 4 | 49 7 | x Weiterlesen »
Indirekt proportionale Zuordnungen: Geschwindigkeit und Zeit Lösung Gegeben ist eine Tabelle: Geschwindigkeit (km/h) Zeit (h) 90 6 120 x Hier geht es um eine indirekt proportionale Zuordnung: Wenn die Geschwindigkeit größer wird, wird die benötigte Zeit kleiner (bei gleicher Strecke). Schritt 1: Grundidee der indirekten Proportionalität Bei gleicher Strecke gilt: Geschwindigkeit · Zeit = konstant
Geschwindigkeit(km/h)| Zeit(h) 90 | 6 120 | x Weiterlesen »
